Redigerer
Koordinatsystem
(avsnitt)
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
===Kontravariante og kovariante komponenter=== I tillegg til basisvektorene '''e'''<sub>''μ''</sub>  kan man velge å benytte et alternativt sett av lineært uavhengige vektorer som en basis i dette rommet. Det er basert på at koordinattransformasjonen {{nowrap|''x<sup>μ</sup>'' {{=}} (''A''<sup>-1</sup>)''<sup>μ</sup><sub>m</sub> x<sup>m</sup>'' }} beskriver en flate i rommet når en koordinat ''x<sup>μ</sup> '' holdes fast. Dette er «koordinatflaten» for denne koordinaten. Hver koordinat har sin tilsvarende koordinatflate. [[Nabla-operator|Normalvektorene]] {{nowrap|'''e'''<sup>''μ''</sup> {{=}} '''∇'''''x<sup>μ</sup> ''}} til disse flatene danner en '''dual basis''' som angis ved å skrive den greske indeksen i hevet posisjon.<ref name = Siegel/> Hver av disse nye basisvektorene står vinkelrett på alle andre i den opprinnelige basisen bortsett fra sin duale motpart. Det følger fra : <math> \mathbf{e}^\mu\cdot \mathbf{e}_\nu = (A^{-1})^\mu_{\;\; m}\mathbf{e}_m\cdot \mathbf{e}_n A^n_{\;\;\nu} = (A^{-1})^\mu_{\;\; m}A^m_{\;\;\nu} = (A^{-1}A)^\mu_{\;\;\nu} = \delta^\mu_{\;\nu}</math> hvor på høyresiden Kronecker-deltaet med greske indekser opptrer. En dual basis kan også konstrueres i det mer generelle tilfellet hvor rommet som skal koordinatiseres, i utgangspunktet ikke har noen metrikk. Dette benyttes noen ganger i den mer abstrakte formuleringen av [[differensialgeometri]]. En vilkårlig vektor '''V''' kan i det opprinnelige, kartesiske koordinatsystemet uttrykkes ved sine komponenter på de tilsvarende basisvektorene slik at {{nowrap|'''V''' {{=}} ''V<sub>m</sub>'' '''e'''<sub>''m''</sub>.}} For de kartesiske komponentene ''V<sub>m</sub> '' er det uvesentlig om den latinske indeksen skrives oppe eller nede. Men i den skjevvinklete i basisen er dette ikke lenger tilfelle. Der får vektoren andre komponenter som følger fra : <math> \mathbf{V} = \mathbf{e}_\mu (A^{-1})^\mu_{\;\; m} V^m</math> Dette kan igjen skrives på formen {{nowrap|'''V''' {{=}} ''V<sup>μ</sup> '''''e'''<sub>''μ''</sub>}} hvor koeffisientene : <math> V^\mu = (A^{-1})^\mu_{\;\; m}V^m </math> kalles vektorens '''kontravariante''' komponenter. Det er angitt ved å plassere den greske indeksen i en hevet posisjon. Navnet «kontravariante» kommer fra den egenskapen at disse komponentene transformerer med den inverse matrisen ''A<sup>-1</sup>'' og derfor motsatt av de tilsvarende basisvektorene '''e'''<sub>''μ''</sub>. Alternativt kan man nå også benytte den duale basisen i det skjevvinklete koordinatsystemet. Da er {{nowrap|'''V''' {{=}} ''V<sub>μ</sub> '''''e'''<sup>''μ''</sup> }} som definerer de '''kovariante''' komponentene {{nowrap|''V<sub>μ</sub>'' {{=}} '''e'''<sub>''μ''</sub>⋅'''V''' }} til denne vektoren. De skrives med den greske indeksen i senket posisjon. Skriver man her {{nowrap|'''V''' {{=}} ''V<sup>ν</sup>'' '''e'''<sub>''ν''</sub>}}, er derfor {{nowrap|''V<sub>μ</sub>'' {{=}} '''e'''<sub>''μ''</sub>⋅'''e'''''<sub>ν</sub>V<sup>ν</sup>''}}  som betyr at : <math> V_\mu = g_{\mu\nu}V^\nu </math> Metrikken {{nowrap|''g<sub>μν</sub>'' }} kan derfor brukes til å «senke» en kontravariant indeks slik at man får en kovariant komponent. På tilsvarende måte er en kontravariant komponent gitt som {{nowrap|''V<sup>μ</sup>'' {{=}} '''e'''<sup>''μ''</sup>⋅'''V''' }} som betyr at man kan skrive {{nowrap|''V<sup>μ</sup>'' {{=}} ''g<sup>μν</sup>V<sub>ν</sub>'' }} etter å ha definert {{nowrap|''g<sup>μν</sup>'' {{=}} '''e'''<sup>''μ''</sup>⋅'''e'''<sup>''ν''</sup> {{=}} (''A''<sup>-1</sup>)''<sup>μ</sup><sub>m</sub>''(''A''<sup>-1</sup>)''<sup>ν</sup><sub>m</sub>''.}} Det er derfor naturlig å kalle disse koeffisientene for de kontravariante komponentene av metrikken. Da de oppfyller : <math> g^{\mu\lambda}g_{\lambda\nu} = \delta^\mu_{\;\nu}, </math> danner de en matrise som er den inverse av matrisen med de kovariante komponentene {{nowrap|''g<sub>μν</sub>''.}} [[Indreprodukt]]et mellom vektorene '''V''' og {{nowrap|'''U''' {{=}} ''U<sup>μ</sup>'' '''e'''<sub>''μ''</sub>}} blir nå {{nowrap|'''U'''⋅'''V''' {{=}} ''g<sub>μν</sub>U<sup>μ</sup>V<sup>ν</sup>''.}} Det kan derfor også skrives som {{nowrap|'''U'''⋅'''V''' {{=}} ''U<sup>μ</sup>V<sub>μ</sub> {{=}} U<sub>μ</sub>V<sup>μ</sup>''.}}
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Denne siden er medlem av 1 skjult kategori:
Kategori:1000 artikler enhver Wikipedia bør ha
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon