Redigerer Integrasjon (avsnitt)

== Formell definisjon av bestemt integral ==
Definisjonen av et bestemt integral bygger på definisjonen av en ''partisjon'' (oppdeling) av det [[lukket mengde | lukkede]] intervallet <math>[a,b]</math>.  

Det eksisterer flere ulike definisjoner av et bestemt integral, og presentert her er definisjonen av et [[Riemannintegral]], som igjen er ekvivalent med et [[Darbouxintegral]].  For en videre klasse av funksjoner kan en også definere [[Riemann-Stieltjesintegral]] og [[Lebesguesintegral]].

=== Partisjoner ===
En partisjon er en endelig mengde

:<math>P = \{ x_0, x_1, x_2,\ldots ,x_n\}</math>

slik at 

:<math>a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < n_n = b</math>

''Bredden'' til partisjonen <math>\mu(P)</math> er definert som den største avstanden mellom to påfølgende element:

:<math>\mu(P) = \max_i  \Delta x_i  \ \text{ der }  \ \Delta x_i = x_i - x_{i-1}</math>

Videre sier en at partisjonen er ''merket'' dersom det til hvert par av påfølgende elementer i partisjonen <math>i-1</math> og <math>i</math> er definert en verdi <math>t_i</math> slik at

:<math>x_{i-1} \le t_i \le x_i</math>

=== Riemann-integrasjon ===
En ''Riemannsum'' for en gitt merket partisjon er definert ved

:<math>\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i</math>

Det bestemte integralet av funksjonen <math>f(x)</math> over intervallet <math>[a,b]</math> er definert lik <math>S </math> dersom det for et hver positivt tall <math>\varepsilon</math> eksisterer en verdi <math>\delta</math> slik at for alle partisjoner med bredde mindre enn <math>\delta</math>, så er 

:<math>\left| S - \sum_{i=1}^n f(t_i)\Delta x_i \right| < \varepsilon</math>

Notasjon for verdien av integralet <math>S</math> er på forma

:<math>S = \int \limits_a^b f(x) \,\mathrm{d}x</math>. 

Noe mer uformelt kan en si at integralet er lik grenseverdien for Riemannsummen når bredden av partisjonen går mot null, dersom en slik [[grenseverdi]] eksisterer.  Grenseverdien er lik arealet under grafen til funksjonen, dersom denne er positiv, slik som vist på figurene under.  

[[Fil:Riemansumma 1.gif]] [[Fil:Riemansumma 2.gif]]

=== Lesbegue-integrasjon ===
Riemann-integrasjon kan generaliseres ved [[Lesbegue-integrasjon]]. Denne generaliseringen danner grunnlaget for [[målteori]].

===Integrerbare funksjoner ===
En funksjon der grenseverdien for Riemannsummen eksisterer sies å være ''(Riemann-)integrerbar.''

* Alle [[Kontinuerlig funksjon|kontinuerlige funksjoner]] er integrerbare.
* Hvis <math>f</math> er begrenset i <math>[a,b]</math> og har et endelig antall diskontinuiteter i intervallet, så er <math>f</math> integrerbar i intervallet.

===Eksempel på bestemt integral ===
Det følgende eksemplene på bestemt integral er basert på det tilsvarende eksempelet for ubestemt integral:

:<math>\int \limits_1^2 \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \left[ \; \ln{\left|x\right|} \; \right]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2</math>

Her er brukt den følgende notasjonen, som er vanlig i forbindelse med utregning av bestemte integral:

:<math>\left[ \; f(x) \; \right]_a^b  = f(b) - f(a) \, </math>