Redigerer Hyperbel (avsnitt)

=== Dobbelt sett av brennpunkt og styrelinje ===
[[Fil:Hyperbelgren med to brennpunkt og styrelinjer.png|thumb|Hyperbelgren med to sett av brennpunkt og styrelinjer]]
Polarformen av hyperbelen kan brukes til å vise at kurven har et alternativt sett av brennpunkt og styrelinje. La et valgt brennpunkt være <math>F_1</math> i en avstand <math>h</math>
fra styrelinjen <math>L_1</math>, og la <math>e</math> være en valgt eksentrisitet.  Definer et punkt <math>F_2</math> på hyperbelaksen, i avstanden <math>s</math> fra brennpunktet <math>F_1</math>, der

:<math>s = \frac{2e^2h}{e^2 - 1}  \qquad (A) </math>

Punktet <math>F_2</math> skal velges slik at styrelinjen ligger ''mellom'' punktene <math>F_1</math> og <math>F_2</math>.  En linje <math>L_2</math> legges parallelt med <math>L_1</math>, mellom
de to punktene <math>F_1</math> og <math>F_2</math>, i en avstand <math>h</math> fra <math>F_2</math>.  

La <math>P</math> være et vilkårlig punkt på hyperbelen, og la
<math>r_1</math> og <math>r_2</math> være avstandene fra punktet <math>P</math> til de to punktene <math>F_1</math> og <math>F_2</math>.  Linjestykkene <math>F_1P</math> og <math>F_2P</math> 
danner vinklene <math>\theta_1</math> og <math>\theta_2</math> med hyperbelaksen.  Fra den geometriske definisjonen er

:<math>r_1 = e(h + r_1\cos \theta_1)</math>

Fra [[Pythagoras’ læresetning#Consinussetningen|cosinussetningen]] er

:<math>
\begin{alignat}{2}
r_1^2 &= r_2^2 + s^2 - 2r_2 s \cos \theta_2 \\
r_2^2 &= r_1^2 + s^2 - 2r_1 s \cos ( \pi - \theta_1 ) = r_1^2 + s^2 + 2r_1 s \cos \theta_1 
\end{alignat}
</math>

Ved å kombinere disse to ligningene finner en

:<math>r_1 \cos \theta_1 = - r_2 \cos \theta_2 + \frac{r_2^2 - r_1^2}{s}  \qquad (B) </math>

Avstanden fra punktet <math>P</math> til hyperbelaksen gir ligningen

:<math>r_1 \sin \theta_1 = r_2 \sin \theta_2   \qquad  (C) </math>

Fra kvadratet av den geometriske definisjonen finner en

:<math>
r_1^2 = e^2(h^2 + 2h r_1\cos \theta_1 + r_1^2 \cos^2 \theta_1)  \qquad (D)
</math>

Kombinasjon av ligningene ''A''-''D'' gir relasjonen

:<math>r_2^2 = e^2(r_2\cos \theta_2 - h)^2</math>

Avstanden mellom de to punktene <math>F_2</math> og <math>P</math> er <math>r_2</math>, og størrelsen i parantesen på høyre side i ligningen over er avstanden fra linjen <math>F_2</math> til punktet <math>P</math>. 
Ligningen viser altå at disse to avstandene er proporsjonale, med samme proporsjonalitetskonstant <math>e</math> som det valgte brennpunktet <math>F_1</math> og styrelinjen <math>L_1</math>.  
Paret <math>F_2</math> og <math>L_2</math> er altså et alternativt sett av brennpunkt og styrelinje for hyperbelgrenen.  Tilsvarende vil begge to settene også være brennpunkt og styrelinjer for
en hyperbelgren som ligger symmetrisk om sentrum i hyperbelen, det vil si symmetrisk om midtpunktet mellom de to brennpunktene.

Avstanden fra sentrum og et brennpunkt er gitt ved lengden <math>s/2</math>.