Redigerer Hamilton-mekanikk (avsnitt)

==Poisson-klammer==

I noen praktiske sammenhenger kan man være interessert i å beregne forandringen med tiden av en funksjon ''A = A(q,p,t)'' av de dynamiske variable.  Denne er gitt ved den totale deriverte

: <math> {dA\over dt} = {\partial A\over\partial t} + {\partial A\over\partial q}\cdot \dot{q} + {\partial A\over\partial p}\cdot \dot{p}  </math>

Setter man her inn for <math> \dot{q} </math> og <math> \dot{p} </math> fra Hamiltons ligninger, kan man skrive resultatet som

: <math> {dA\over dt} = {\partial A\over\partial t} + [A,H] </math>

etter å ha innført '''Poisson-klammen''' [''A,H''] mellom den variable ''A'' og Hamilton-funksjonen ''H'' definert som

: <math> [A,H] = {\partial A\over\partial q}\cdot {\partial H\over\partial p} - {\partial A\over\partial p}\cdot {\partial H\over\partial q} \equiv 
                             \sum_n\left({\partial A\over\partial q_n} {\partial H\over\partial p_n} 
                            - {\partial A\over\partial p_n}{\partial H\over\partial q_n}\right)                 </math>

På samme måte defineres Poisson-klammen mellom to vilkårlige variable ''A = A(q,p,t)'' og ''B = B(q,p,t)''. Den er antisymmetrisk i den forstand at [''A,B''] = - [''B,A''] slik at også [''A,A''] = 0.

Herav følger et viktig resultat. Ser man nå på den totale forandring av selve Hamilton-funksjonen, blir da ganske enkelt

: <math> {dH\over dt} = {\partial H\over\partial t} </math>

da [''H,H''] = 0 og hvor ''&part;&thinsp;H/&part;&thinsp;t = - &part;&thinsp;L/&part;&thinsp;t''. Det betyr at når det ikke er noen eksplisitt tidshavhengighet i systemet, er Hamilton-funksjonen konstant. Den er en bevart størrelse som er energien til systemet og betegnes vanligvis med bokstaven ''E''.

Man kan merke seg noen spesielle Poisson-klammer. For eksempel er [''q<sub>k</sub>,A''] = ''&part;&thinsp;A/&part;&thinsp;p<sub>k</sub>'' og [''p<sub>k</sub>,A''] = - ''&part;&thinsp;A/&part;&thinsp;q<sub>k</sub>'' slik at begge Hamilton-ligningene kan skrives på samme form

: <math> \dot{q}_k = [q_k, H], \;\;\;\;\;\;\;\; \dot{p}_k = [p_k, H] </math>

Dette viser klart symmetrien mellom disse to variable i Hamiltons formulering.

Videre finner man lett at [''q<sub>i</sub>&thinsp;,q<sub>j</sub>&thinsp;''] = [''p<sub>i</sub>&thinsp;,p<sub>j</sub>&thinsp;''] = 0, mens [''q<sub>i</sub>&thinsp;,p<sub>j</sub>&thinsp;''] = ''&delta;<sub>i&thinsp;j</sub>'' uttrykt ved [[Kronecker-delta|Kroneckers deltasymbol]] ''&delta;<sub>i&thinsp;j</sub>&thinsp;''. For en partikkel med [[dreieimpuls]]en '''L''' = '''r'''&thinsp;&times;&thinsp;'''p''' har Poisson-klammene mellom komponentene likedan de symmetriske verdiene [''L<sub>x</sub>&thinsp;,L<sub>y</sub>&thinsp;''] = ''L<sub>z</sub>&thinsp;'' etc. I [[kvantemekanikk]]en erstattes Poisson-klammene med ''kommutatorer'' mellom de tilsvarende kvanteoperatorene.