Redigerer Geodetisk kurve (avsnitt)

==Variasjonsberegning==

I et rom utstyrt med en [[metrisk tensor]] ''g<sub>&mu;&nu;</sub>''(''x'')&thinsp; er avstanden mellom to nærliggende punkt ''x<sup>&mu;</sup>&thinsp;'' og ''x<sup>&mu;</sup>&thinsp;'' + ''d&thinsp;x<sup>&mu;</sup>&thinsp;'' gitt ved linjeelementet

: <math> ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu </math>

Lengden av en kurve {{nowrap|''x'' {{=}} ''x''(''&lambda;'')&thinsp;}} som forbinder to punkt 1 og 2 er derfor

: <math> L = \int_1^2\!ds = \int_1^2\!d\lambda \sqrt{ g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu}  </math>

hvor <math> \dot{x}^\mu = dx^\mu/d\lambda </math>. Den kurven med den minste lengden kan nå beregnes ved bruk av [[variasjonsregning]]. Resultatet vil da være en kurve {{nowrap|''x'' {{=}} ''x''(''&lambda;'')&thinsp;}}  som er den geodetiske linjen som forbinder disse to gitte punktene.

Beregningen vil være avhengig av hvilke koordinater og hvilken parametrisering man benytter. Dette kan illustreres ved oppgaven å finne en geodetisk linje i det euklidske planet ved bruk av [[polarkoordinatsystem|polarkoordinater]] (''r, &theta;''). Linjeelementet er da <math> ds^2 = dr^2 + r^2d\theta^2 </math> slik at variasjonsproblemet blir

: <math> L = \int_1^2\!d\lambda\sqrt{\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2} </math>

Løsningen vil da være gitt ved å finne de to funksjonene ''r'' = ''r''(''&lambda;'')&thinsp; og ''&theta;'' = ''&theta;''(''&lambda;'')&thinsp;som gir den minimale verdien for dette integralet. Men her kan løsningen mer direkte finnes ved å beskrive kurven ved den ene funksjonen ''r = r''(''&theta;'')&thinsp; eller som ''&theta; = &theta;''(''r''). I det siste tilfellet kan ''r&thinsp;'' betraktes som parameter og variasjonsproblemet forenkles til

: <math>  L = \int_1^2\!dr\sqrt{1 + r^2\dot{\theta}^2} </math>

hvor nå <math> \dot{\theta} = d\theta/dr </math>. Kalles integranden for ''F'', vil den tilsvarende  [[variasjonsregning#Euler-Lagrange-ligningen|Euler-Lagrange-ligningen]]

:<math> {\partial F\over\partial\theta} - {d\over dr}\Big( {\partial F\over\partial\dot{\theta}}\Big) = 0 </math>

forenkles til

: <math> {d\over dr} \left({r^2\dot{\theta}\over\sqrt{1 + r^2\dot{\theta}^2}} \right) = 0. </math>

Innholdet i parantesen er derfor en konstant. Kalles denne ''b'', er problemet redusert til ligningen

: <math> {d\theta\over dr} = {b\over r\sqrt{r^2 - b^2}} </math>

Setter man her ''r'' = ''b''/''u'', forenkles denne til

: <math> {d\theta\over du} = - {1\over\sqrt{1 - u^2}} </math>

som ved direkte integrasjon gir løsningen ''&theta;'' = arccos''u'' + ''&theta;''<sub>0</sub>&thinsp; der ''&theta;''<sub>0</sub>&thinsp; er en integrasjonskonstant. Den geodetiske kurven er derfor gitt ved ligningen

: <math> r\cos(\theta - \theta_0) = b </math>

Som ventet beskriver denne en rett linje hvor ''b&thinsp;'' er avstanden fra origo til dens nærmeste punkt som ligger i retning ''&theta;''<sub>0</sub>. Disse to integrasjonskonstantene kan bestemmes ut fra koordinatene til begynnelsespunktet 1 og sluttpunktet 2 til kurven. Akkurat denne beregningen hadde naturligvis vært enklere i et [[kartesisk koordinatsystem]].

===Geodetisk ligning===

For en vilkårlig parametrisering av kurven, må variasjonen av kurvelengden  ''&delta;L'' = 0.  Man kan da innføre «energien» til kurven definert ved <math> E =  (1/2)g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu </math> i analogi med [[kinetisk energi]] for en partikkel  i [[Lagrangemekanikk|mekanikken]]. Den geodetiske linjen har derfor minimal energi. 

Det matematiske problemet kan da omformes til

: <math>\delta L =  \delta\int_1^2\!d\lambda\sqrt{2E} = \int_1^2\!d\lambda {\delta E\over\sqrt{2E}} = 0 </math>

Hvis man nå velger en naturlig parametrisering av kurven slik at ''E'' = 1/2, vil det bety at man bruker dens buelengde ''s'' som parameter. Dermed forenkles variasjonsproblemet til

: <math>\delta E = {1\over 2}\int_1^2\!ds \delta(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu) = 0 </math>

Euler-Lagrange-ligningen <math> \partial E/\partial x^\alpha = (d/ds)\partial E/\partial\dot{x}^\alpha</math> tar da formen

: <math> {\partial g_{\mu\nu}\over\partial x^\alpha}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = 2{d\over ds} (g_{\mu\alpha}\dot{x}^\mu) =  2g_{\mu\alpha}\ddot{x}^\mu + 2{\partial g_{\mu\alpha}\over\partial x^\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu =  2g_{\mu\alpha}\ddot{x}^\mu + \Big({\partial g_{\mu\alpha}\over\partial x^\nu} + {\partial g_{\nu\alpha}\over\partial x^\mu} \Big)\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu </math>

etter å ha symmetrisert det siste leddet. Det gir den geodetiske ligningen

: <math>  {d^2x^\beta\over ds^2} + \Gamma^\beta_{\;\mu\nu}{dx^\mu\over ds}{dx^\nu\over ds}  = 0 </math>

hvor

: <math> \Gamma^\beta_{\;\mu\nu} = {1\over 2} g^{\beta\alpha} \Big({\partial g_{\mu\alpha}\over\partial x^\nu} + {\partial g_{\nu\alpha}\over\partial x^\mu} - {\partial g_{\mu\nu}\over\partial x^\alpha} \Big) </math>

er [[Tensor#Tensoranalyse|Christoffel-symbolet]] av andre sort. Dette er symmetrisk i de to nedre indeksen. Den geodetiske ligningen tar denne formen bare ved en affin parametrisering.

Den geodetiske ligningen er vanligvis vanskelig å løse for en gitt metrikk bortsett fra i det trivielle tilfellet der alle Christoffel-symbolene er null. Da har ligningen rette linjer som løsninger. Men det er også tilfelle i det mer generelle tilfellet at koordinatene er slik valgt at Christoffel-symbolene har formen

: <math> \Gamma^\beta_{\;\mu\nu} = \delta^\beta_\mu a_\nu +  \delta^\beta_\nu a_\mu</math>

for vilkårlige funksjoner ''a<sub>&mu;</sub>''(''x'').  Da gir ligningen at den andrederiverte ''d''<sup>&thinsp;2</sup>''x<sup>&beta;</sup>''/''ds''<sup>&thinsp;2</sup>  er proporsjonal med tangenten ''dx<sup>&beta;</sup>''/''ds'' som betyr at den geodetiske kurven er en rett linje.