Redigerer Fermi-Dirac statistikk (avsnitt)

==Statistisk fordeling==

Ved en beskrivelse av de fysiske egenskapene til et stort antall identiske partikler er det umulig å følge hver enkelt partikkel. I [[statistisk mekanikk]] kan man i stedet beregne [[sannsynlighetsfordeling]]er for at grupper av partiklene opptrer med bestemte egenskaper. Dette ble først gjennomført for frie partikler som følger [[Maxwell-Boltzmann statistikk]]. 

Omtrent samme fremgangsmåte kan også benyttes for frie [[fermion]]er. Selv om det ikke er noen krefter som virker mellom dem, vil de likevel være påvirket av hverandre på grunn av [[Paulis eksklusjonsprinsipp]]. Det sier at fermioner ikke kan opptre i samme kvantetilstand. Hvis de da befinner seg i et åpent volum, kan ikke to slike partikler være på samme sted hvis de samtidig har spinn som er like. Resultatet kan da sies å være at de holder seg borte fra hverandre på grunn av en fiktiv «Pauli-kraft» som virker frastøtende.<ref name = Schroeder> D.V. Schroeder, ''An Introduction to Thermal Physics'', Addison Wesley Longman, San Fransisco, CA (2000). ISBN 0-201-38027-7.</ref>

Et system med ''N&thinsp;'' fermioner vil fordele seg over de forskjellige energinivåene  på en slik måte at fordelingen har den største sannsynlighet. Denne er proporsjonal med hvor mange ganger man kan fordele ''n''<sub>0</sub>&thinsp; partikler i laveste nivå ''E''<sub>0</sub>&thinsp; samtidig som det er ''n''<sub>1</sub>&thinsp; partikler i neste nivå ''E''<sub>1</sub>&thinsp; og så videre. Hvis man betrakter et slikt nivå ''E<sub>r</sub>&thinsp;'' som består av ''g<sub>r</sub>&thinsp;'' kvantetilstander, har den første partikkelen i dette nivået ''g<sub>r</sub>&thinsp;'' tilgjengelige tilstander. Den neste kan da fylle én av de ''g<sub>r</sub>'' - 1 ledige tilstandene uten å være i konflikt med Pauli-prinsippet. Med to partikler i dette nivået, er det nå  i alt {{nowrap|''g<sub>r</sub>''&thinsp;(''g<sub>r</sub>'' - 1)/2}} mulige plasseringer av de to første partiklene da de er identiske. Med i alt ''n<sub>r</sub>&thinsp;'' partikler på dette nivået kan de dermed plasseres på 

: <math>\begin{align} W_r &= g_r (g_r -1) (g_r - 2)\cdots (g_r - n_r +1)/n_r !  \\ &= {g_r ! \over (g_r - n_r)! \, n_r!}  \end{align} </math>

forskjellige måter. Det totale antall tilstander som denne fordelingen av alle ''N&thinsp;'' partikler kan befinne seg i, er derfor produktet

: <math> W = W_0 W_1 W_2\cdots = \prod_r W_r </math>

Herav kan den mest sannsynlige fordelingen finnes ved å maksimalisere ''W&thinsp;'' med bibetingelsen at antalll partikler <math> N = \sum_r n_r </math> er gitt samtidig som at den totale energien  <math> E = \sum_r n_r E_r </math> holdes konstant. Dette kan gjøres på samme vis som for [[Maxwell-Boltzmann statistikk|Maxwell-Boltzmann  fordelingen]]. Fra Boltzmanns ligning <math> S = k_B \ln W </math> for systemets [[Entropi#Boltzmann og statistisk mekanikk|entropi]], vil denne fordelingen med maksimal sannsynlighet også da ha maksimal entropi i overensstemmelse med [[termodynamikkens andre lov]].<ref name = Sears> F.W. Sears, ''An Introduction to Therrmodynamics, the Kinetic Theory of Gases and Statistical Mechanics'', Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA (1956).</ref>

===Maksimalisering===

Ved bruk av [[Stirlings formel]] <math> \ln n! = n\ln n - n ,</math>  er

: <math> \ln W = \sum_r [g_r \ln g_r - n_r \ln n_r  - (g_r - n_r)\ln (g_r - n_r) ]  </math>

Maksimum av dette antallet kan finnes ved bruk lav [[variasjonsregning]] der man foretar en lliten forandring  <math> n_r \rightarrow n_r + \delta n_r </math> av okkupasjonstallene. Det betyr at den resulterende forandringen 

: <math> \delta \ln W = \sum_r [\, \ln(g_r - n_r) - \ln n_r]\delta n_r </math>

skal være null samtidig som at bibetingelsene er oppfylte. Det kan gjøres ved å innføre to [[Lagrange-multiplikator]]er ''&alpha;&thinsp;'' og ''&beta;&thinsp;'' slik at kravet for et maksimum blir at den totale varriasjonen <math> \delta (\ln W - \alpha N- \beta E) = 0 . </math> Det gir

: <math> \ln n_r - \ln(g_r - n_r) + \alpha + \beta E_r = 0 </math>

Det gir Fermi-Diracs resultat 

: <math>  n_r  = {g_r \over {e^{\alpha + \beta E_r} + 1}} </math>

for okkupasjonstallene av fermioner når de er i termisk likevekt. De to ukjente størrelsene ''&alpha;&thinsp;'' og ''&beta;&thinsp;''  kan bestemmes fra hva fordelingen gir ved høy temperatur når den skal. være i overensstemmelse med klassisk  Maxwell-Boltzmann statistikk. Det gir {{nowrap|''&beta;'' {{=}} 1/''k<sub>B</sub>T&thinsp;''}} og {{nowrap|''&alpha;'' {{=}} - ''&mu;''/''k<sub>B</sub>T&thinsp;''}} hvor ''&mu;&thinsp;'' er det [[kjemisk potensial]] for systemet av partikler.<ref name = Schroeder/>

===Termisk likevekt===

Istedenfor å bestemme den mest sannsynlige fordeling av partiklene, kan man anta at systemet befinner seg i termisk likevekt. Det har da en viss temperatur ''T&thinsp;'' som blir vedlikeholdt ved at det utveksles energi og et visst [[kjemisk potensial]] ''&mu;&thinsp;'' ved at det  utveksles partikler med omgivelsene. For eksempel når en partikkel med energi ''E<sub>r</sub>&thinsp;'' blir overført fra omgivelsene til systemet, er den eneste forandringen i okkupasjonstalene at {{nowrap|''n<sub>r</sub>'' &rarr; ''n<sub>r</sub>'' + 1}}. Det medfører en tilsvarende forandring i systemets entropi,

: <math> \begin{align} \Delta S &= k_B \ln {g_r ! \over (g_r - n_r - 1)! \, (n_r + 1)!} - k_B \ln {g_r ! \over (g_r - n_r)! \, n_r!}  \\ &= k_B \ln {g_r - n_r\over n_r + 1} \end{align}</math>

Her kan man i nevneren til logaritmen la ''n<sub>r</sub>'' + 1 &rarr; ''n<sub>r</sub>&thinsp;'' som allerede er anvendt ved bruken av Stirlings formel. Denne entropiforandringen skjer samtidig med en forandring {{nowrap|&Delta;''U'' {{=}} ''E<sub>r</sub>&thinsp;''}} i systemets [[indre energi]] og en økning {{nowrap|&Delta;''N'' {{=}} 1&thinsp;}} i antall partikler som det inneholder. Fra [[Termodynamikkens første lov#Differensiell formulering|termodynamikkens første lov]] er disse tre forandringene forbundet ved {{nowrap|''T''&thinsp;&Delta;''S'' {{=}} &Delta;''U''  - ''&mu;''&thinsp;&Delta;''N''}} =  {{nowrap|''E<sub>r</sub>'' - ''&mu;''}}. Det betyr nå at 

: <math> {n_r\over g_r} = {1\over {e^{(E_r- \mu)/k_BT} + 1}} </math>

som er den ønskede formen av fordelingen.<ref name = Schroeder/>