Redigerer Eulers tall (avsnitt)

===Leonhard Euler===
[[Fil:Houghton GC7 Eu536 748i - Introductio in analysin infinitorum.jpg|thumb|En side fra Eulers store verk ''Introductio in Analysin Infinitorum'' (1748).]]
Fra 1727 da han var 20 år, var [[Leonhard Euler|Euler]] ansatt ved [[Det russiske vitenskapsakademi]]et i [[St. Petersburg]].<ref name = Calinger> R. Calinger,  [https://core.ac.uk/download/pdf/82068344.pdf ''Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)''], Historica Mathematica '''23''', 121–166 (1996). </ref> Samme år brukte han bokstaven ''e'' for konstanten 2,71828 i et manuskript om [[prosjektil]]ers bevegelse. Den var definert ved at dens hyperbolske logaritme {{nowrap|ln''e'' {{=}} 1.}} Denne notasjonen benyttet han også i et brev til [[Christian Goldbach]] i 1731 og i læreverket ''Mechanica'' som kom ut i 1736.<ref name = Cajori> F. Cajori, ''Use of the letter e to represent'' 2.718...  i D. E. Smith, [https://archive.org/stream/sourcebookinmath00smit#page/95/mode/1up ''A Source Book in Mathematics''], McGraw-Hill, New York (1929), archive.org online, pp 95-99.</ref>

Da Euler flyttet til Berlin i 1745, hadde han avsluttet sitt store verk ''Introductio in Analysin Infinitorum'' som ble utgitt først i 1748.<ref name = AnalysInfinit>  L. Euler, [https://archive.org/details/bub_gb_jQ1bAAAAQAAJ/page/n5/mode/2up ''Introductio in Analysin Infinitorum''], Marc Michel Bousquet & Co, Lausanne (1748), archive.org online </ref> Her ga han en fullstendig fremstilling av alle viktige egenskaper ved ''e''. Den numeriske verdien kunne han presentere med 23 desimalers nøyaktighet.<ref name = e23> L. Euler, [https://archive.org/details/bub_gb_jQ1bAAAAQAAJ/page/n115 ''Introductio in Analysin Infinitorum'', Volume I, p. 90], ''e'' med 23 desimaler.</ref>

Sammenhengen med den hyperbolske logaritmen følger fra dens [[derivasjon|deriverte]]. Fra definisjonen er

: <math> {d\over dx} \ln x = {1\over x} </math>

når man benytter [[analysens fundamentalteorem]] som forbinder derivasjon med [[integral]], Men samtidig skal dette også følge fra en direkte beregning, det vil si

: <math> {d\over dx}\ln x = \lim_{h\rightarrow 0}{\ln(x+h) - \ln x\over h} =  \lim_{h\rightarrow 0}{1\over h}\ln \Big(1 + {h\over x}\Big)  </math>

Men dette kan omformes til

: <math> {d\over dx}\ln x = {1\over x}\ln \lim_{n\rightarrow\infty}\Big(1 + {1\over n}\Big)^n = {1\over x}\ln e </math>

når man skriver ''h''/''x'' = 1/''n'' der ''n'' &rarr; &infin; når ''h'' &rarr; 0 og ''x'' holdes fast. Så når den hyperbolske logaritmen ln''e'' = 1, vil den deriverte av logaritmefunksjonen være ganske enkelt 1/''x'' som er mest naturlig. Siden har hyperbolske logaritmer også blitt kalt [[naturlig logaritme|naturlige logaritmer]] og betegnes vanligvis som {{nowrap|ln&thinsp;''x''}}, {{nowrap|log<sub>''e''</sub>&thinsp;''x''&thinsp;}} eller ganske enkelt {{nowrap|log&thinsp;''x''}} når det ikke kan oppstå noen misforståelse.<ref name="Lindstrøm"> T. Lindstrøm,  ''Kalkulus'', Universitetsforlaget, Oslo (2016). ISBN 978-82-15-02710-4.</ref>

De faktiske årsakene til bruken av bokstaven ''e'' er ukjente, men det kan være fordi den er den første bokstaven i ordet eksponentiell. En annen mulighet er at ''e'' var den første ledige bokstaven da ''a'', ''b'', ''c'' og ''d'' kanskje ble brukt for andre størrelser. At Euler skulle ha brukt denne bokstaven med tanke på sitt eget navn, er lite sannsynlig.<ref name = Cajori/>