Redigerer Euklids Elementer (avsnitt)

== Oppbygging av læreverket ==

===Organisering===
''Elementer'' består av 13 bind eller bøker, i referanser ofte nummerert med romertall.

Bruken av grunnbegreper i læreverket er farget av vitenskapslæren til Aristoteles, som skilte skarpt mellom postulater og bruk av «allmenn innsikt» eller aksiomer.  
Aksiomer var betraktet som selvinnlysende utsagn, som alle ville være enig i, gyldig i alle vitenskaper.  Postulater kunne være mindre opplagte og gjorde ikke krav på allmen aksept, men ble tatt som forutsetning i en gitt undersøkelse eller i en gitt vitenskap.<ref name=CB116>[[#CB|C.B.Boyer: ''A history of mathematics'']] s.116</ref>  Bind I blir som oftest framstilt som å inneholde fem postulater og fem «allmenne innsikter».<ref>{{ Kilde bok |forfatter=Ottar Ytrehus |utgivelsesår=1976 |tittel=Matematikkens historie |utgivelsessted = Oslo |forlag=Skolesjefen i Oslo, Avdeling for pedagogisk utviklingsarbeid |url=http://urn.nb.no/URN:NBN:no-nb_digibok_2012121406023 |side=129}}</ref><ref name=AHB69>[[#AHB|A. Holme: ''Geometry. Our cultural heritage.'']] s.69ff</ref><ref>{{kilde www| url=http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0086%3Abook%3D1%3Atype%3DPost%3Anumber%3D1 |tittel=Euclid, Elements |utgiver=Perseus Digital Library |besøksdato=2021-04-18}}</ref> De eldre kildene er imidlertid ikke konsistente om dette, og noen kilder grupperer alle ti sammen.  I dagens matematikk er det ikke vanlig å skille mellom «postulater» og «aksiomer».<ref name=CB116/>

Hoveddelen av verket består av setninger eller teoremer, med tilhørende bevis.  Gresk matematikk skilte mellom ''analyse'' og ''syntese'': I analyse blir et komplekst problem brutt ned til
kjente elementer, mens syntese går ut på å utlede nye resultater fra kjente og beviste setninger.  ''Elementer'' er helt og fullt gjennomført basert på syntese.<ref name=TH371>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.371</ref> Verket inkluderer figurer, men ellers er formen verbal, uten bruk av ligninger eller formler.

=== Definisjoner ===

''Elementer'' har verken forord eller innledning. Første bind går rett på sak med 23 definisjoner, der de tre første er slik:

# Et punkt er det som ikke har noen del.
# En linje er en lengde uten bredde.
# Starten og slutten på en linje er punkter.

En linje trenger ikke være rett, men blir betraktet som endelig, det vi i dag omtaler som et [[linjestykke]]. Fortsettelsen inkluderer definisjon av vinkler, både rette, spisse og stumpe.  En sirkel blir definert, med sentrum og diameter. En av definisjonene inkluderer et teorem tillagt [[Tales fra Milet]], om at diameteren deler sirkelen i to. Trekanter blir også presentert, inkludert spesielle trekanter som likesidet, likebeint og rettvinklet. Firkantene kvadrat, rektangel, rombe og trapes er definert, men ikke parallellogrammet.

I bind I har Euklid til en viss grad bygd på definisjoner kjent fra Platons skole, men har også reformulert noen av disse.  Et par av definisjonene er antatt å være laget av Euklid selv.
 
Bind VI definerer for eksempel [[formlikhet|formlike]] figurer.  Bind X definerer kommensurable og inkommensurable størrelser.

Gresk geometri hadde ingen definisjoner av lengde, areal eller volum, og det ble ikke knyttet tallverdier til slike størrelser.  Et spørsmål som «hva er arealet av en sirkel» ville derfor ikke gi mening 
i gresk geometri.  Derimot kunne en ''sammenligne'' to størrelser av samme type, for eksempel ved å definere forholdet mellom to areal.<ref>{{Kilde bok| forfatter= Carl B.Boyer| utgivelsesår=1959| tittel=The history of the calculus and its conceptual development| utgivelsessted= New York| forlag=Dover Publications| side=32| isbn=0-486-60509-4 }}</ref>

Respekt for tradisjonen viser seg ved at Euklid tar med enkelte definisjoner som ikke blir brukt videre i verket. Dette gjelder for eksempel definisjonen av en rombe.<ref name=TH373>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.373ff</ref>

=== Postulater ===
[[Fil:Parallel postulate.svg|thumb|right|Euklids femte aksiom sier at de to linjene ''h'' og ''k'' vil skjære hverandre i et punkt ''S'' hvis summen av vinklene &alpha;&nbsp; og &beta;&nbsp; er mindre enn to rette vinkler.]]

De fem grunnleggende postulatene er gitt i bind I:<ref name=AH263>[[#AH|A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.263</ref><ref name=AH12>[[#AH|A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 2) s.12</ref>

# Mellom to punkter kan det trekkes en entydig linje.
# En linje kan forlenges vilkårlig i hver retning.
# Rundt hvert punkt kan beskrives en sirkel med en vilkårlig radius.
# Alle rette vinkler er like store.
# Hvis en rett linje skjærer to rette linjer slik at summen av de indre vinklene på samme side er mindre enn to rette vinkler, da skjærer de to rette linjene hverandre på den siden hvor de indre vinklene befinner seg, når linjene forlenges vilkårlig langt.

Postulat 4 er ofte omtalt som et teorem, men trengs som et postulat for at innholdet i postulat 5 skal ha mening.<ref name=TH373/>

Postulat 5 er det berømte [[parallellaksiomet|parallellpostulatet]].  Parallelle linjer er introdusert i den siste definisjonen i bind I, men postulatet er formulert uten å nevne slike linjer. Postulatet gir et vilkår for at to linjer ''ikke'' er parallelle.

[[Thomas Heath]] mener at formuleringen av både det fjerde og det femte postulatet, muligens alle fem, må komme fra Euklid selv.<ref name=TH373/>

=== Aksiomer ===

De fem «allmenne innsiktene» eller aksiomene i ''Elementer'' er, i oversettelse fra engelsk:<ref>{{kilde www|url=https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0086%3Abook%3D1%3Atype%3DCN%3Anumber%3D1 |tittel=Euclid, Elements |utgiver=Perseus Digitial Library |besøksdato=2021-04-21}}</ref>

# Ting som er lik samme ting, er også like hverandre.
# Dersom likt blir lagt til likt, så er det hele også likt.
# Dersom likt blir tatt fra likt, så er resten også likt.
# Ting som er sammenfallende, er like.
# Det hele er større enn hver enkelt del.

Thomas Heath påpeker at aksiom 4 er knyttet til geometri og derfor ikke helt i samsvar med Aristoteles definisjon av aksiomer, som allmenne sannheter.  Etter Heaths mening er det sannsynlig at de to siste
aksiomene ikke er laget av Euklid, men er lagt til verket i ettertid.<ref name=TH373/>

=== Setninger og bevis ===

Hvert bind inneholder en rekke setninger eller teoremer som stegvis bygger på hverandre, med tilhørende bevis for hver setning.  Referanse til en setning blir i dag vanligvis gitt ved numeret på bindet og 
setningsnummeret.  [[Pytagoras’ læresetning]] er for eksempel gitt i slutten av bind I, som setning I.47.

Til en setning skulle det høre «data», det vil si former og objekter som var «gitt». Tilsvarende starter en i dag ofte geometriske problem med utsagn av typen «Gitt en rett linje og en sirkel med sentrum som ikke ligger på linjen».
Euklid drøfter i et annet verk, ''Data'', hva som ligger i at data er «gitt».<ref name=TH421>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.421</ref>  Dette verket ligger tett opp til de fire første
bøkene i ''Elementer''.

Der det har vært nødvendig for sammenhengen, har Euklid konstruert nye bevis, hvis rekkefølgen i verket har gjort at kjente bevis ikke har fungert.  Beviset for Pytagoras’ setning er antagelig konstruert av 
Euklid selv.<ref name=TH378>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.378</ref>