Redigerer Elliptisk geometri (avsnitt)

===Det enkeltelliptiske planet===

Når to vilkårlige punkt ligger kun på én linje, er geometrien enkelelliptisk og er det som definerer elliptisk geometri i vanlig forstand. Et slikt plan er det ikke mulig for oss å forestille seg i sin helhet selv om små deler av det har samme egenskaper som en tilsvarende, liten del av en kuleflate.

[[Fil:BoysSurfaceTopView.PNG|thumb|200px|En grafisk fremstilling av det enkeltelliptiske planet.]]
En måte å tenke seg denne [[flate]]n er å ta utgangspunkt i en vanlig sfære som er kuttet langs en storsirkel som man kan kalle ekvator. Punkter på den ene halvdelen kan nå betraktes å være i et enkeltelliptisk plan. Her kan to vilkårlige punkt forbindes med en entydig linje som er en del av en storsirkel. Men forlenges dette linjestykket ut fra disse to endepunktene, vil man komme til to motsatte punkt på ekvator. Disse to punktene defineres nå å være ett og det samme punkt. Dermed får en lukket linje i dette planet bare halvparten av den lengden den ville ha hatt på hele sfæren.<ref name = Cederberg/>

Hvert punkt på ekvator identifiseres på denne måten med sin motpol i det motsatte punktet på ekvator. Hvordan den resulterende flaten dermed vil bli seende ut, er vanskelig å forestille seg. Den vender seg på et vis inn i seg selv når man tenker på den i det tredimensjonale rommet.

Dette problemet tilsvarer den forestillingen man har av en [[torus]]. Vanligvis tenker man seg denne som overflaten til en smultring som har en [[Differensiell flategeometri#Krumning|krumning]] som varierer fra punkt til punkt. Men matematisk er den definert som det direkte produktet '''S'''<sup>1</sup>&times;&thinsp;'''S'''<sup>1</sup> av to sirkler. Den er en todimensjonal flate med null krumning som man bare kan forestille seg hvis den skulle befinne seg i et firedimensjonalt rom. På samme måte må man tenke seg at det enkeltelliptiske planet befinner seg i et rom med flere enn tre dimensjoner hvor det har en konstant, positiv krumning.<ref name = Guggenheimer>H.W. Guggenheimer, ''Differential Geometry'', Dover Publications, New York (1977). ISBN 0-486-63433-7.</ref>