Redigerer Dobbeltforhold (avsnitt)

===Kopunktuale linjer===
[[Fil:Doppelverh-mit-winkel.svg|thumb|300px|Zum Berechnen des Doppelverhältnisses mit Winkel]]

Flere linjer som går gjennom samme punkt sies å være ''kopunktuale''. Hvis fire slike linjer gjennom et punkt skjæres av en femte linje, vil dobbeltforholdet for de fire skjæringspunktene kunne uttrykkes ved [[trigonometrisk funksjon|trigonometriske funksjoner]] av vinklene mellom linjen ved bruk av [[euklidsk geometri]].

Hvis nå skjæringspunktene for de fire linjene gjennom ''Z&thinsp;'' igjen betegnes som  ''A'', ''B'', ''C'', ''D'', kan deres dobbeltforhold skrives som

: <math> (A,B;C,D) = {(AC/ZA)\cdot (BD/ZB)\over (BC/ZB) \cdot (AD/ZA)} </math>

De forskjellige lengdene som her inngår utgjør alle sidekanter i trekanter med et felles hjørne i punktet ''Z''. Ved bruk av [[sinussetningen]] kan forholdet mellom sidene i en trekant uttrykkes ved forholdet mellom de motstående vinklene. For eksempel er

: <math> {AC\over ZA} = {\sin AZC\over\sin ACZ} </math>

når man betegner vinkelen mellom sidene ''AZ'' og ''ZC'' som ''AZC''. På figuren har den verdien ''&alpha;'' + ''&beta;''. Dette gir resultatet

: <math> (A,B;C,D) = {\sin AZC\over\sin BZC}\cdot  {\sin BZD\over\sin AZD} </math>

da de andre vinklene langs skjæringslinjen faller ut. Det skyldes at ''ACZ'' = ''BCZ'' og tilsvarende  ''ADZ'' = ''BDZ''. Som en konsekvens kan man dermed definere dobbeltforholdet  (''ZA'',''ZB'';''ZC'',''ZD'')  mellom fire linjer ''ZA'', ''ZB'', ''ZC'' og ''ZD'' som går gjennom et felles punkt ''Z'' ved sammenhengen

: <math> (ZA, ZB; ZC, ZD) = (A,B; C,D) </math>

når punktene  ''A'', ''B'', ''C'' og ''D'' ligger på en rett linje. Dette gjør det mulig å definere en ''harmonisk bunt'' av fire kopunktuale linjer ved at skjæringspunktene med  enhver annen linje er harmonisk.<ref name="Faulkner">T.E. Faulkner, ''Projective Geometry'', Dover Publications, New York (2006). ISBN 0-486-45326-X.</ref>