Redigerer Dirac-ligning (avsnitt)

===Spinn-1/2===

Dirac-ligningen kan skrives på samme form som den tidsavhengige [[Schrödinger-ligning]]en

: <math> i\hbar{\partial\psi\over\partial t} = \hat{H} \psi </math>

hvor nå 

: <math> \hat{H} = \boldsymbol{\alpha}\cdot\hat\mathbf{p}c + \beta mc^2 </math> 

er [[Hamilton-operator]]en for den relativistiske partikkelen. Posisjonen er gitt ved en vektoroperator <math> \hat\mathbf{x} </math> med komponenter som har en fundamental kommutator med komponentene til den konjugerte impulsoperatoren <math> \hat\mathbf{p}. </math> Den har den [[Kvantemekanikk#Tre dimensjoner|kanoniske formen]]

: <math> [\hat{x}_i ,\hat{p}_j] = i\hbar\,\delta_{ij} </math>

Da Hamilton-operatoren er uavhengig av posisjonen '''x''', er derfor impulsen til partikkelen konstant. Derimot sier  [[Matrisemekanikk#Kvantedynamikk|Heisenbergs bevegelsesligning]] at

: <math> i\hbar {d\over dt} \hat{x}_k = [\hat{x}_k ,\hat{H}] </math>

ikke er null slik at partikkelens posisjon forandrer seg med tiden. Uavhengig av dens impuls har den en bevegelse gitt ved <math> d\hat\mathbf{x}/dt = c\boldsymbol{\alpha}. </math> Dette kan bare tolkes som at en Dirac-partikkel alltid har en hastighet som i størrelse er gitt ved lyshastigheten. Fenomenet kalles for «sitterbevegelse» og har vært mye diskutert. En Klein-Gordon-partikkel har en mer normal sammenheng mellom impuls og hastighet.<ref name = Bethe> H.A. Bethe, ''Intermediate Quantum Mechanics'', W.A. Benjamin, New York (1964).</ref>

En fri Dirac-partikkel har heller ikke en konstant [[dreieimpuls]] <math>\mathbf{L} = \mathbf{x}\times \mathbf{p}.</math> Skriver man dens komponenter ved hjelp av [[Levi-Civita-symbol]]et som <math> L_k = \varepsilon_{kij} x_i p_j, </math> følger det på samme vis fra

: <math>  i\hbar {d\over dt} \hat{L}_k =  [\hat{L}_k ,\hat{H}] = i\hbar\, \varepsilon_{kij} \alpha_i \hat{p}_j c </math>
 
som mer kompakt betyr at <math> d\hat\mathbf{L}/dt = \boldsymbol{\alpha}\times\hat\mathbf{p}c. </math> Formen på dette resultatet tilsier å innføre de utvidete Pauli-matrisene

: <math> \boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix}  \boldsymbol{\sigma}  & 0 \\  0 & \boldsymbol{\sigma}  \end{pmatrix} </math>

som har dimensjon 4&times;4. I dette [[Kvantemekanikk#Tidsutvikling og Heisenberg-bilde|Heisenberg-bildet]] vil de variere ifølge 

: <math>\begin{align}  i\hbar {d\over dt} \Sigma_k &=  [\Sigma_k ,\hat{H}] =  [\Sigma_k ,\alpha_i \hat{p}_i c ] \\ &=  [\Sigma_k ,\alpha_i] \,\hat{p}_i c  = 2i\varepsilon_{kij} \alpha_j \hat{p}_i c \end{align}</math>

når man benytter [[Pauli-matrise#Algebraiske egenskaper|kommutatoren]] <math> \left[\sigma_k,\sigma_i\right] = 2i\varepsilon_{kij} \sigma_j  </math> mellom de vanlige Pauli-matrisene. Det betyr at den tidsderiverte av operatoren  <math> \hat{L}_k + (\hbar/2) \Sigma_k </math> er null. Derfor er den totale dreieimpulsen

: <math> \hat\mathbf{J} = \hat\mathbf{L} + {\hbar\over 2}\boldsymbol{\Sigma} </math>

bevart for en fri Dirac-partikkel. Av denne grunn har den  [[spinn]] ''s'' = 1/2 hvor den indre dreieimpulsen (''ħ''/2)'''&Sigma;''' har samme årsak som partikkelens  sitterbevegelse.<ref name = BD/>