Redigerer De Broglies bølgelengde (avsnitt)

===Gruppehastighet===
[[Fil:Photon paquet onde.png|thumb|right|[[Louis de Broglie]] foreslo i 1924 at en [[bølgepakke]] kan beskrive en materiell partikkel.]]

Materiebølgene som de Broglie foreslo, skulle være like fysiske som [[elektromagnetisk stråling|elektromagnetiske bølger]] for fotonet. Men når bølgen har en gitt bølgelengde tilsvarende en gitt impuls for partikkelen, strekker den seg ut over hele rommet, mens partikkelen har en bestemt posisjon. Denne konflikten omtales som en [[bølge–partikkel-dualitet]].

For å forstå hvordan en lokalisert partikkel kan beskrives ved hjelp av bølgeformalismen, forslo de Broglie at den skulle tilsvare en  [[bølgepakke]] av plane bølger. 
En slik pakke beveger seg med en  [[gruppefart|gruppehastighet]] {{nowrap|''v<sub>g</sub> {{=}} d&omega;/dk''&thinsp;}} som nå kan skrives som {{nowrap|''v<sub>g</sub> {{=}} dE/dp''}}.

For en [[Spesiell relativitet#Relativistisk impuls|relativistisk partikkel]] er sammenhengen mellom  energi og impuls i alminnelighet

: <math> E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 </math>

Derfor er  ''EdE = c''<sup>2</sup>''pdp'' slik at gruppehastigheten blir {{nowrap|''v<sub>g</sub>'' {{=}} ''c''<sup>2</sup>''p''/''E''.}} Nå kan man i alminnelighet  også skrive energien som {{nowrap|''E'' {{=}} ''&gamma;mc''<sup>2</sup>}} og impulsen som {{nowrap|''p {{=}} &gamma;mv''}} slik at gruppehastigheten blir {{nowrap|''v<sub>g</sub>'' {{=}} ''v''}} og er lik den fysiske hastigheten.

Uttrykket {{nowrap|''c''<sup>2</sup>''p''/''E''&thinsp;}} for gruppehastigheten gjelder også for en ikke-relativistisk partikkel som har hastighet ''v << c''&thinsp; slik at dens energi blir

: <math> E = mc^2 + {p^2\over 2m} </math>

Dropper man her hvileenergien ''mc''<sup>2</sup>, er fortsatt gruppehastigheten  ''v<sub>g</sub> =  dE/dp = p/m = v''. Men fasehastigheten til bølgen blir da {{nowrap|''u {{=}} E''/''p''}} = {{nowrap|''p''/2''m'' {{=}} ''v''/2}} og er derfor mindre enn lyshastigheten. Vanligvis har et konstant tillegg til energien ingen konsekvens i ikke-relativistisk fysikk. Men at det ikke gjelder for disse materiebølgene, er en annen indikasjon på at de ikke kan ha en virkelig eksistens.<ref name = Bohm>D. Bohm, ''Quantum Theory'', Dover Books, New York (1989).  ISBN 0-486-65969-0.</ref>