Redigerer Carl Ferdinand Degen (avsnitt)

===Åtte-kvadrats likhet===

Mens arbeidene med Pells ligning var en videreføring av tidligere bidrag av [[Euler]], [[Lagrange]] og [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]], var Degens oppdagelse av den såkalte åtte-kvadrats likheten, hans viktigste ny-oppdagelse. Sannsynligvis kom den ut av hans forsøk på å generalisere Pells ligning. Den enklere to-kvadrats likhet

: <math> (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) = (a_1b_1 + a_2b_2)^2 + (a_2b_1 - a_1b_2)^2 </math>

er kjent fra [[Diofant|Diophants]] tid. Den direkte forbundet med abslolutt størrelse eller «normen» til [[komplekst tall|komplekse tall]]. På 1700-tallet kunne Euler vise at det finnes en tilsvarende identitet som involverer summer med fire kvadrat. Nesten hundre år senere ble det klart at denne reflekterer normen til [[Kvaternioner|kvaternionske tall]]. I [[1818]] kunne Degen presentere et arbeid for Videnskapsselskapet i [[St. Petersburg]] hvor Euler hadde arbeidet, som inneholdt den enda større identiteten<ref>A. Rice and E. Brown, [http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/Comm_and_Coll_A.pdf ''Commutativity and collinearity: A historical case study of the interconnection of mathematical ideas. Part I''] {{Wayback|url=http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/Comm_and_Coll_A.pdf |date=20161020035551 }}, Journal of the British Society for the History of Mathematics '''31''' (1), 1-14 (2016).</ref>

:<math>(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2+a_7^2+a_8^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2+b_5^2+b_6^2+b_7^2+b_8^2) </math>

::<math>\begin{align} &= (a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3-a_4b_4-a_5b_5-a_6b_6-a_7b_7-a_8b_8)^2\\
 &+ (a_2b_1+a_1b_2+a_4b_3-a_3b_4+a_6b_5-a_5b_6-a_8b_7+a_7b_8)^2\\
 &+ (a_3b_1-a_4b_2+a_1b_3+a_2b_4+a_7b_5+a_8b_6-a_5b_7-a_6b_8)^2 \\
 &+ (a_4b_1+a_3b_2-a_2b_3+a_1b_4+a_8b_5-a_7b_6+a_6b_7-a_5b_8)^2\\ 
 &+ (a_5b_1-a_6b_2-a_7b_3-a_8b_4+a_1b_5+a_2b_6+a_3b_7+a_4b_8)^2\\ 
 &+ (a_6b_1+a_5b_2-a_8b_3+a_7b_4-a_2b_5+a_1b_6-a_4b_7+a_3b_8)^2\\ 
 &+ (a_7b_1+a_8b_2+a_5b_3-a_6b_4-a_3b_5+a_4b_6+a_1b_7-a_2b_8)^2\\ 
 &+ (a_8b_1-a_7b_2+a_6b_3+a_5b_4-a_4b_5-a_3b_6+a_2b_7+a_1b_8)^2 \end{align}</math>

Året etter ble Degen innvalgt som korresponderende medlem i det samme selskapet.  Arbeidet ble først trykt i [[1822]].<ref> C.F. Degen, ''Adumbratio Demonstrationis Theorematis Arithmetici Maxime Universalis'', Mémoires de l’Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, pour les années 1817 et 1818, '''8''', 207-219 (1822).</ref> Med oppdagelsen omtrent tredve år senere av [[oktonion]] som [[Arthur Cayley]] har fått æren for, ble det klart at denne likheten til Degen beskrev normen til disse nye ikke-kommuterende og ikke-assosiative tallene.