Redigerer Bohr-Sommerfeld-kvantisering (avsnitt)

===Lineært potensial===
[[Fil:Linear potential.jpg|thumb|360px|Partikkelen kan bevege seg i langs ''x''-aksen innen et lineært potensial ''V = mgx'' skissert i blått. Den røde kurven illustrerer en typisk, [[Schrödinger-ligning|kvantemekanisk bølgefunksjon]].]]
Et mer komplisert problem oppstår når det endimensjonale potensialet ''V&thinsp;'' ikke plutselig øker fra null til uendelig når ''x'' blir større, men øker jevnt. Da har det den matematiske formen ''V'' = ''mgx&thinsp;'' når ''x'' > 0 og er uendelig stort når ''x'' < 0. Dette tilsvarer at partikkelen i dette området er utsatt for en konstant [[kraft]] ''F = mg''.  Mens et slikt system i klassisk mekanikk er et enkelt problem, er den kvantemekaniske beskrivelsen derimot mer vanskelig.

For positive ''x'' er partikkelens klassiske impuls bestemt ved dens totale energi

: <math>  E  ={p^2\over 2m} + V(x) </math>

Når den beveger seg mot potensialet, vil dens impuls avta til den når et punkt ''x = b&thinsp;'' hvor ''p'' = 0. Det vil si ''b = E''/''mg&thinsp;'' slik at kvantebetingelsen for en lukket bane frem og tilbake blir

: <math> 2\int_0^b\! dx\sqrt{2m(E - V)} = 2\sqrt{2mE}\int_0^b\!dx\sqrt{1 - x/b} = nh </math>

Integralet er elementært med verdien 2''b''/3&thinsp; slik at de kvantiserte energiene blir

: <math> E_n = \left({3hgmn\over 4\sqrt{2m}}\right)^{2/3} </math>

Det er interessant å sammenligne denne halvklassiske beregningen med den eksakte løsningen av [[Schrödinger-ligning]]en. Man finner da egenverdiene for energien som kan skrives på formen

: <math> E_n = mga\,\xi_n </math>

hvor avstanden <math> a = (\hbar^2\!/2gm^2)^{1/3}</math> og ''&xi;<sub>n</sub>&thinsp;'' er de negative nullpunktene til [[Airy-funksjon]]en. De tre første er 2.34, 4.09 og 5.52.<ref name = AS> M. Abramowitz and I.A. Stegun, [http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/toc.htm ''Handbook of Mathematical Functions''], Dover Publications (1972). ISBN 978-0-486-61272-0.</ref>. Siden resultatet for energiene som følger fra Bohr-Sommerfeld-kvantiseringen kan skrives på formen

: <math> E_n = mga\left({3\pi n\over 2}\right)^{2/3} </math>,

har man dermed en approksimativ formel for disse nullpunktene. For de tre første med ''n'' = 1, 2 og 3 gir den  2.81, 4.46 og 5.84 som er nærmere enn 10&thinsp;% av de eksakte verdiene. Nøyaktigheten øker med økende ''n'' og er asymptotisk korrekt.<ref> Encyclopedia of Math, [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Airy_functions ''Airy functions'']</ref> Med unntak av noen få, spesielle tilfeller er dette typisk for denne og andre halvklassiske metoder i kvantemekanikken. Nøyaktigheten blir bedre desto større kvantetallene er. Man beveger seg da inn i det området hvor vanlig, klassisk mekanikk dominerer i overensstemmelse med [[Bohrs atommodell#Bohrs postulater|Bohrs korrespondanseprinsipp]]..<ref name = Griffiths/>

Nøyaktigheten kan også gjøres bedre ved å benytte [[WKB-approksimasjon]]en. Den inkluderer kvantemekaniske korreksjoner nær det klassiske vendepunktet {{nowrap|''x {{=}} b''}}. Resultatet er at kvantetallet ''n'' i dette tilfellet erstattes med ''n'' - 1/4. Dette reduserer de beregnede, laveste energiene med et beløp som gir bedre overensstemmelse med de eksakte verdiene.<ref name = Griffiths/>