Redigerer Bølgefunksjon (avsnitt)

===Eksempel===

Schrödinger-ligningen for en partikkel som befinner seg i en uendelig dyp, éndimensjonal potensialbrønn kan løses [[Schrödinger-ligning#Partikkel i kassepotensial|eksakt]]. Hvis denne har en utstrekning ''a'', kan da partikkelen befinne seg mellom ''x'' = 0 og ''x'' = ''a'' når man velger origo passende. Utenfor begge disse posisjonene er bølgefunksjonen lik med null. Tilstanden med lavest energi {{nowrap|''E''<sub>1</sub> {{=}} ''ħ''<sup>2</sup>''&pi;''<sup>2</sup>/2''ma''<sup>2</sup>}} der ''m&thinsp;'' er partikkelens masse, har bølgefunksjonen

: <math> \psi_1(x) = \sqrt{2\over a} \sin{\pi x\over a} </math>

i området 0 < ''x'' < ''a''. Tilstander med høyere energier har bølgefunksjoner av samme form, men hvor argumentet i sinus-funksjonen blir erstattet med  ''n&pi;x''/''a&thinsp;'' hvor ''n'' = 2, 3, 4  og så videre.<ref name = Griffiths/>

Erstattes det uendelig dype brønnen med potensialet for en éndimensjonal, [[Kvantisert harmonisk oscillator#Bølgefunksjoner|harmonisk oscillator]] med frekvens ''&omega;'', er laveste energi {{nowrap|''E''<sub>0</sub> {{=}} (1/2)''ħ&omega;''}} og tilsvarende bølgefunksjon

: <math> \psi_0(x) = \left({m\omega\over\pi\hbar}\right)^{1/4} e^{-m\omega x^2/2\hbar} </math>

Den gjelder for alle posisjoner ''x'', men avtar raskt fra sentrum ''x'' = 0 til potensialet. Sannsynligheten for å finne partikkelen i det klassisk forbudte området hvor den potensielle energien er større en partikkelens totalenergi, er ikke lenger null. Dette er eksempel på kvantemekanisk [[Kvantetunnelering|tunnelering]].

Det er ikke enkelt å se noe som minner om vanlige [[bølge]]r i disse løsningene. Derimot for en fri partikkel som beveger seg med en gitt impuls '''p''' i et veldig stort, tredimensjonalt rom, er den fulle bølgefunksjonen

: <math> \Psi(\mathbf{x},t) = \sqrt{1\over V}\,e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - Et)/\hbar} </math>

der ''V&thinsp;'' er volumet den befinner seg i. Dette er virkelig en kompleks, [[Bølge#Plane bølger|plan bølge]] med bølgevektor '''k''' = '''p'''/''ħ'' og [[vinkelfrekvens]] ''&omega;'' = ''E''/''ħ''. Men for flere partikler minner de kvantemekaniske bølgefunksjonene enda mindre om klassiske bølger.<ref name = Born/>