Redigerer Arkimedes (avsnitt)

== Matematiske oppdagelser ==
Selv om Arkimedes ofte blir betraktet først og fremst som en som konstruerte mekaniske apparater, ga han også svært viktige bidrag innenfor [[matematikk]]en. Plutark skrev:«Han la hele sin hengivenhet og ambisjon i de renere spekulasjoner hvor det ikke er noen referanse til livets vulgære behov.»

[[Fil:Archimedes pi.svg|thumb|350px|Arkimedes fant en tilnærming til [[pi|π]] ved å bruke [[mangekant]]er utenfor og innenfor en sirkel.]]
Noen av Arkimedes matematiske bevisføringer inkluderer en bruk av [[infinitesimal]]er som ikke er ulik den vi finner i moderne [[integral (matematikk)|integralregning]]. Ved å forutsette at en antakelse var sann, og så vise at dette ville føre til en [[selvmotsigelse]], kunne Arkimedes gi svar på til en vilkårlig grad av nøyaktighet, samtidig som han innsnevret området svaret kunne ligge innenfor. Denne innsnevringsmetoden brukte han for å bestemme tallverdien til [[pi|π]] (pi). Han gjorde dette ved å tegne to [[mangekant]]er (polygoner), en større utenfor en [[sirkel]] og en mindre inni sirkelen. Disse lå så tett til sirkelen som mulig, altså slik at både den ytre n-kanten og den indre n-kanten berørte sirkelen n ganger. Etter hvert som han økte antall kanter kom han sammenfalt mangekantene mer og mer med sirkelen. Ved hjelp av 96-kanter klarte han å beregne at verdien til π lå mellom 3<sup>1</sup>/<sub>7</sub> og 3<sup>10</sup>/<sub>71</sub>, altså mellom 3,1429 og 3,1408. Verdien av 
π uttrykt med ti desimaler er 3,1415926536. Å fastslå π med slik nøyaktighet var en fremragende prestasjon, siden det greske tallsystemet den gang var tungvint og besto av bokstaver i stedet for posisjonsnotasjonen som brukes i dag.

Ved samme innsnevringsmetode kunne Arkimedes beregne verdien til [[kvadratrot]]en av tallet tre til mellom <sup>265</sup>/<sub>153</sub> og <sup>1351</sup>/<sub>780</sub>, altså at verdien lå mellom 1,732 og 1,7320512. Den moderne verdien er ca. 1,7320508076, noe som gjør dette til en svært nøyaktig tilnærming.

Arkimedes beviste også at [[areal]]et til en sirkel var lik π ganger [[kvadrat]]et av [[radius]]en.

Et annet kjent matematisk verk av ham er [[Sand-opptelleren]]. I dette verket har han satt seg fore å beregne hvor mange sandkorn som universet kan inneholde. Ved å gjøre dette utfordret han ideen om at antallet sandkorn var for stort til å kunne telles. Han skrev: «Det er noen, kong Gelon [Gelon II, sønn av Hieron II] som tror at sand[kornenes] antall er ubestemmelig i mengde.» Ved å tallfeste sandkornene ville han motbevise dette, og han presiserte «Jeg mener med sand ikke bare det som finnes rundt Syrakus og resten av Sicilia, men også det som finnes i ethvert område, enten det er bebodd eller ubebodd.» For å løse problemet utviklet han et system for telling basert på ''[[myriade]]r''. Myriade ble i gresk språk brukt både om uendelig (det greske ordet for utellelig var ''murios'') og som ti tusen (10<sup>4</sup>. Han foreslo et tellesystem hvor man brukte myriader av myriade som enhet (hundre millioner) og konkluderte med at antall sandkorn måtte være 8 x 10<sup>63</sup> (moderne tallnotasjon).

<div style="float:right;padding:5px;text-align:center"> [[Fil:Parabola and inscribed triangle.svg|Parabel med skravert trekant]]<br /></div>
Innenfor [[geometri]] beviste Arkimedes at arealet som dannes mellom en [[parabel]] og en rett [[linje]] er 4/3 av arealet av en [[trekant]] med samme grunnlinje og høyde.

Han uttrykte løsningen på dette problemet som en geometrisk uendelig [[rekke (matematikk)|rekke]] med en ratio på 1/4:

:<math> \sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3} \; . </math>

Den første leddet er her trekantens areal, det andre en summen av de to trekantene som dannes ved at man deler den opprinnelige trekantens grunnlinje som vist på illustrasjonen og så videre. Beviset er en variant av den uendelige rekken 1/4&nbsp;+&nbsp;1/16&nbsp;+&nbsp;1/64&nbsp;+1/256&nbsp;+&nbsp;... som kan summeres til 1/3.

Det har vært foreslått at Arkimedes kan ha kjent til [[Herons formel]] for å regne ut arealet av en trekant fra lengden av sidene. Den første kjente referansen til denne formelen er imidlertid [[Heron av Alexandria]] sin bok ''Metrica'' fra rundt år [[60]] e.kr.