Redigerer Apollonios’ sirkel (avsnitt)

==Analytisk fremstilling==

Man kan benytte et [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]] med origo i ''A'' og ''x''-aksen langs linjen som forbinder den med ''B''. Disse to gitte punktene har gjensidig avstand ''a'', Kravet til et punkt ''X'' = (''x,y'') på det geometriske stedet er da at ''XA''/''XB'' = ''&lambda;'' skal være konstant. Det betyr at

: <math> \sqrt{x^2 + y^2} = \lambda \sqrt{\left ( x - a \right )^2 + y^2} </math>,

Ved å kvadrere denne ligningen kan den skrives på formen

: <math> x^2 + y^2 - \frac{2\lambda^2 ax}{\lambda^2 - 1} + \frac{\lambda^2a^2}{\lambda^2 - 1} = 0 </math>.

Den beskriver en sirkel med sentrum i  <math> a\lambda^2/(\lambda^2 - 1) </math>  på ''x''-aksen og med radius <math> r = a\lambda/|\lambda^2 - 1| </math>. Når <math> \lambda \ll 1 </math> ligger sirkelsentrum like til venstre for origo i ''A''. Etterhvert som <math> \lambda </math> øker, flytter det seg ut til venstre, og radius øker. For den spesielle verdien <math> \lambda = 1 </math> forsvinner senteret ut til venstre for så å dukke opp igjen langt ute til høyre for ''B''. For enda  større verdier av <math> \lambda </math> nærmer det seg dette punktet, mens sirkelens radius samtidig går mot null.