Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

===Aktive transformasjoner===

Når rotasjonsoperatoren <math> \hat{R}(\boldsymbol{\phi}) </math> utledes som her ved å ta den virke på basisvektorene, sies transformasjonen å være '''passiv'''.  I dette bildet påvirkes  ikke tilstandsvektoren  <math> |\psi \rangle </math> av operasjonen. Men vektoren vil ha nye komponenter i den transformerte basisen

: <math>  \psi(\mathbf{r}' )  = \langle\mathbf{r}'|\psi \rangle =   \langle\mathbf{r}| \hat{R}(-\boldsymbol{\phi}) |\psi \rangle </math>

da <math> \hat{R}^\dagger (\boldsymbol{\phi}) =   \hat{R}^{-1}(\boldsymbol{\phi}) = \hat{R}(-\boldsymbol{\phi}) .</math>  Denne sammenhengen kan alternativt forstås som at den samme transformasjonen virker  på selve tilstandsvektoren og dreier den i motsatt retning <math> -\boldsymbol{\phi}. </math> En '''aktiv''' rotasjon med rotasjonsvinkel <math> \boldsymbol{\phi} </math> vil da være

: <math> |\psi\rangle \rightarrow |\psi'\rangle =  \hat{R}(\boldsymbol{\phi}) |\psi \rangle </math>

Den påvirker ikke basisvektorene slik at komponentene til den roterte tilstandsvektoren blir

: <math> \psi'(\mathbf{r})  = \langle\mathbf{r}|\psi' \rangle =   \langle\mathbf{r}| \hat{R}(\boldsymbol{\phi}) |\psi \rangle </math>

uttrykt i de opprinnelige koordinatene. Denne nye funksjonen har den spesielle egenskapen at <math> \; \psi'(\mathbf{r'}) =  \psi(\mathbf{r}).  </math> Det er en konsekvens av det unitære kravet <math> \hat{R}^\dagger \hat{R} = \hat{I} </math> og gjelder også for translasjoner i rommet. For de fleste anvendelser av kvantemekanikken benyttes slike aktive transformasjoner.