Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

===Rotasjoner og dreieimpuls===

Under rotasjon med en vinkel ''&phi;&thinsp;'' om ''z''-aksen vil de to andre koordinatene forandres til

: <math>\begin{align} x \rightarrow x' &= x\cos\phi - y\sin\phi \\ y \rightarrow y' &= x\sin\phi + y\cos\phi  \end{align}</math>

Når dreievinkelen blir tilstrekkelig liten ''&delta;&phi;'', kan man sette {{nowrap|cos''&phi;'' {{=}} 1}} og  {{nowrap|sin''&phi;'' {{=}} ''&delta;&phi;''.}}  Koordinatforandringene blir dermed {{nowrap|''&delta;x'' {{=}} ''x' - x''}} = -''y&delta;&phi;'' og {{nowrap|''&delta;y'' {{=}} ''y' - y''}} = ''x&delta;&phi;''. Ved å benytte enhetsvektoren '''e'''<sub>''z''</sub> langs ''z''-aksen, kan denne forandringen skrives mer kompakt som {{nowrap|''&delta;''&thinsp;'''r''' {{=}} ''&delta;&phi;''&thinsp;'''e'''<sub>''z''</sub>&thinsp;&times;&thinsp;'''r'''}}. Generelt kan derfor effekten av den samme rotasjonen om en vilkårlig enhetsvektor '''n''' skrives

: <math> \delta\mathbf{r} =  \mathbf{r}' - \mathbf{r} = \delta\phi\, \mathbf{n} \times \mathbf{r} </math>

Det er derfor naturlig å betrakte ''&delta;&phi;''&thinsp;'''n''' = ''&delta;''&thinsp;'''&phi;''' som en vektoriell vinkel som også angir retningen til rotasjonsaksen.

På samme måte som en klassisk translasjon av en posisjonsvektor fører til en tilsvarende translasjonsoperator, vil en rotasjon kvantemekanisk være gitt ved en rotasjonsoperator  <math> \hat{R} </math> definert ved

: <math>  |\mathbf{r}\rangle \rightarrow |\mathbf{r}' \rangle =  \hat{R} (\boldsymbol{\phi})|\mathbf{r}\rangle </math>

for en endelig rotasjon  <math> \boldsymbol{\phi} = \phi \,\mathbf{n}. </math> Operatoren må være unitær og vil derfor ha formen

: <math> \hat{R}(\boldsymbol{\phi}) = \exp(-{i\over\hbar} \hat\mathbf{L}\cdot\boldsymbol{\phi}) </math>

hvor <math> \;\hat\mathbf{L} \;</math> er en hermitisk operator som genererer infinitesemale rotasjoner. Da vil bølgefunksjon <math> \psi(\mathbf{r}) = \langle \mathbf{r}|\psi\rangle  </math> gå over til å bli

: <math> \psi(\mathbf{r} + \delta\mathbf{r}) = \langle\mathbf{r}' |\psi \rangle = \psi(\mathbf{r}) + {i\over\hbar} \langle\mathbf{r} |\hat\mathbf{L}\cdot\delta\boldsymbol{\phi} |\psi\rangle  </math>

Da denne lille forandringen er

: <math>\begin{align} \delta\psi(\mathbf{r}) &= \psi(\mathbf{r}') - \psi(\mathbf{r}) = \delta\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\nabla}\psi \\ &= (\delta\boldsymbol{\phi} \times \mathbf{r})\cdot \boldsymbol{\nabla}\psi  = \delta\boldsymbol{\phi}\cdot( \mathbf{r} \times  \boldsymbol{\nabla}) \psi , \end{align}  </math>

kommer man frem til det viktige resultatet

: <math> \langle\mathbf{r} |\hat\mathbf{L}| \psi\rangle =  - i\hbar\, \mathbf{r} \times  \boldsymbol{\nabla} \psi(\mathbf{r}) </math>

Selv om det er her utledet i koordinatbasis, er likevel dreieimpulsoperatoren <math> \hat\mathbf{L} = \hat\mathbf{r}\times \hat\mathbf{p} </math> alltid generatoren for rotasjoner.<ref name = Davydov/>