Redigerer Vekselstrøm (avsnitt)

===Fasevektor for sinusformede strømmer og spenninger===
[[File:OndaSenoidal2.svg|thumb|350px|Sammenheng mellom en sinusfunksjon og fasevektor]]

Bearbeidelse av trigonometriske funksjoner ved analyse av vekselstrømskretser er tungvint og et mye brukt system er [[fasevektor]]er. [[Eulers formel]] sier generelt at en [[eksponentialfunksjon]] kan uttrykkes som en sinusfunksjon:

:<math>e^{\pm j \theta } = \cos \theta \pm j\sin \theta \!</math>

der symbolene betyr:
: ''e'' = [[grunntall]]et for den [[Naturlig logaritme|naturlige logaritmen]]
: ''j'' = den [[imaginær enhet|imaginære enheten]]{{efn|I matematikken brukes «i» for denne størrelsen, men i elektroteknikken er «i» brukt for strøm, dermed innføres «j» for å unngå misforståelser.}}
:<math>\theta</math> = et hvilket som helst reelt tall.

Cosinusfunksjonen kan sees på som den reelle delen av eksponentialfunksjonen og sinusfunksjonen som den imaginære:

:<math>\cos \theta= \mathfrak {Re} ({e^{j \theta}} ), </math> den reelle delen
:<math>\sin \theta = \mathfrak{Im} ({e^{j \theta}} ),</math> den imaginere delen

der <math> \mathfrak{Re}</math> står for realdelen og <math> \mathfrak{Im}</math> står for imaginærdelen. Har en som her valgt å uttrykke sinusformet strømmer og spenninger ved hjelp av cosinus-funksjonen trenger en kun å bruke den første sammenhengen over. Dermed kan cosinus-funksjonen som ble introdusert hel først i dette kapittelet omskrives slik:<ref name=EC319>[[#EC|James W. Nilsson: ''Electric Circuits'' side 319.]]</ref>

:<math>i(t)= \hat i \cos( \omega t + \theta) = \hat i \mathfrak{Re}({e^{j \omega t + \theta}}) = \hat i \mathfrak{Re}({e^{j \omega t} e^{j \theta}}) = \mathfrak{Re}({ \hat i e^{j \omega t} e^{j \theta}})</math>

I uttrykket over er ledet <math>\hat i e^{j \omega t}</math> et tall som overfører informasjon om strømmens amplitude og fasevinkel. Videre er det komplekse tallet <math>e^{j \theta}</math> et ledd som gir informasjon om amplitudeverdien ved et gitt tidspunkt (t). Det siste leddet er av liten interesse fordi det er det relative forholdet mellom strømmer og spenninger som er av viktighet. Dermed er selve definisjonen av en [[fasevektor]] slik den brukes i elektroteknikken slik:<ref name=EC319/>

:<math> \mathbf{I}= \hat i e^{j \theta} = \mathfrak{P} (\hat i \cos ( \omega t + \theta))</math>

De <math> \mathfrak{P}</math> er symbolet for fasevektortransformasjonen. En sier at fasevektortransformasjonen{{efn|En fasevektor er en matematisk hjelpestørrelse og ikke en reel fysisk størrelse som en vektor med en gitt retning i rommet slik som en kraft, en hastighet, eller et elektrisk felt. Den brukes til å omforme en sinusformet størrelse til noe som er lettere å behandle og analysere.<ref>[[#YL|Young og Freedman: ''University physics'' side 1062.]]</ref>}} overfører sinusfunksjonen fra tidsplanet til kompleksplanet.  Formen over kalles for polarform eller polar koordinat, men [[Kartesisk koordinatsystem|kartesisk form]] er like vanlig, da får uttrykket over denne formen:<ref name=EC319/>

:<math> \mathbf{I}= \hat i \cos \theta + j \hat i \sin \theta </math>

I elektroteknikken innføres notasjonen <math>\scriptstyle 1\angle \theta = 1e^{j+ \theta}</math> som er enklere å skrive.<ref name=EC319/> Som et eksempel på bruken av dette kan en se på spenning og strøm i en vanlig elektrisk motor. Si at den får en spenning på 230 V, at strømmen er 5 A, frekvensen er 50 Hz og at effektfaktoren er cos φ = 0,7 induktiv. Det vil si at det er en faseforskyvning mellom strøm og spenning på φ = 45º, og at denne strømmen ligger etter spenningen. Dette kan uttrykkes slik for 
spenningen:

:<math> v(t) = \sqrt{2}\cdot 230 \cos (2 \cdot 50 \pi t) V = 325 \cos (314 \cdot t) V</math>

Spenningen transformert over til fasevektor gir det betydeligere enklere uttrykket: <math>\scriptstyle \mathbf{V} = 325 \angle{0}^\circ V</math>

For strømmen i den samme motoren:

:<math>i(t) = \sqrt{2}\cdot 5 \cos (2 \cdot 50 \pi t -45^\circ) A = 7,1 \cos(314 \cdot t -45^\circ) A</math>

Strømmen transformert over til fasevektor gir:<math>\scriptstyle \mathbf{I} = 7,1 \angle{-45^\circ}A</math>

Om en heller vil uttrykke dette som effektivverdier blir dette <math>\scriptstyle 230 \angle{0}^\circ V</math> og <math>\scriptstyle 5 \angle{0}^\circ A</math> Spenningen forutsettes som nevnt å være referanse, derfor minustegnet foran faseforskyvningene for strømmen.

Et annet eksempel er en motstand og en spole i serie. Si at en har en ohmsk motstand på R = 5 Ω og  at reaktansen er X = 3 Ω. Dette kan en da enkelt skrive med kartesiske koordinater på kompleks form: Z = 5+j3 Ω. Om den induktive reaktansen byttes ut med en kapasitans som er like stor skrives dette på samme måte, men med negativt fortegne for imaginærdelen: Z = 5–j3 Ω.

En stor fordel med disse komplekse størrelsene er at kretsanalyse, altså beregninger av spenninger,  strømmer og andre størrelser i et elektrisk system, blir meget enklere enn om tidsvariable størrelser benyttes. Kretsen transformeres over til kompleksplanet som en sier, og deretter kan kretsen manipuleres matematisk som om den var en likestrømkrets.