Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

===Tre dimensjoner===

For å lokalisere en partikkel som kan bevege seg i et tredimensjonalt rom, kan man bruke [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]]. Dens posisjon er da gitt ved vektoroperatoren

:  <math>  \hat\mathbf{x} = \sum_{a=1}^3 \hat{x}_a \mathbf{e}_a .</math>

med ortonormerte  basisvektorer <math>  \mathbf{e}_a\cdot\mathbf{e}_b = \delta_{ab}. </math> 
Den har egentilstander <math> |\mathbf{x}\rangle = |x\rangle |y\rangle |z\rangle </math> slik at  <math>  \hat\mathbf{x}|\mathbf{x}\rangle = \mathbf{x} |\mathbf{x}\rangle .</math> Normeringen tas over fra én dimensjon og er derfor

: <math> \langle \mathbf{x} |\mathbf{x}'\rangle = \delta( \mathbf{x} - \mathbf{x}') </math>

når man skriver <math>  \delta( \mathbf{x} - \mathbf{x}') = \delta(x - x')\delta(y - y')\delta(z - z') .</math> Enhetsoperatoren I tre dimensjoner er derfor

: <math> \hat{I} = \int\! d^3x\, |\mathbf{x} \rangle \langle \mathbf{x} | </math>

når man benytter denne normeringen.<ref name = Merzbacher/>

Operatoren for translasjonen <math>  \mathbf{x} \rightarrow  \mathbf{x}' =  \mathbf{x} +  \mathbf{a} \; </math> er

: <math> \hat{T} (\mathbf{a} ) = e^{-i\hat\mathbf{p}\cdot \mathbf{a}/\hbar} </math>

hvor <math> \hat\mathbf{p} </math> er impulsoperatoren I tre dimensjoner. Dens egentilstander <math> |\mathbf{p} \rangle </math> får nå normeringen

: <math>  \langle \mathbf{p}' |\mathbf{p} \rangle = (2\pi\hbar)^3 \delta(\mathbf{p}' -\mathbf{p}) </math>

og kan representeres ved bølgefunksjonen

: <math> \psi_{\mathbf{p}}(\mathbf{x}) = \langle\mathbf{x} |\mathbf{p} \rangle  = e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}/\hbar} </math>

i koordinatrommet. På tilsvarende vis er en generell tilstand <math> |\psi \rangle </math> representert ved bølgefunksjon

: <math> \psi(\mathbf{x}) = \langle \mathbf{x}|\psi\rangle  </math>

Den er relatert til en ekvivalent bølgefunksjon <math> \bar\psi(\mathbf{p}) =  \langle \mathbf{p}|\psi\rangle  </math> i impulsrommet ved Fourier-integralet

: <math> \psi(\mathbf{x}) = \int\! {d^3p\over (2\pi\hbar)^3}  \bar\psi(\mathbf{p})\, e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}/\hbar} </math>

Impulsoperatoren <math> \hat\mathbf{p} </math> er representert ved <math> -i\hbar\partial_{\mathbf{x}} </math> i koordinatrommet hvor <math> \partial_{\mathbf{x}} </math> er [[nabla-operator]]en <math> \boldsymbol{\nabla} </math> med komponenter <math> (\partial_x, \partial_y, \partial_z ). </math>  Egenverdiligningen <math>  \hat{H}|\psi\rangle = E|\psi\rangle </math> med Hamilton-operatoren

: <math> \hat{H} =  {\hat\mathbf{p}^2\over 2m} + V(\hat\mathbf{x}) </math>

gir dermed den tidsuavhengige Schrödinger-ligningen

: <math> \Big[ -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + V(\mathbf{x}) \Big] \psi(\mathbf{x}) = E \psi(\mathbf{x}) </math>

når den blir representert i det tredimensjonale koordinatrommet.

På tilsvarende vis er posisjonsoperatoren <math> \hat\mathbf{x} </math> representert ved <math> i\hbar\partial_{\mathbf{p}} </math> i impulsrommet som også kan benyttes til å gi en ny representasjon av Schrödinger-ligningen. Derimot vil den kanoniske kommutator i tre dimensjoner alltid være

: <math> [\hat{x}_a ,\hat{p}_b] = i\hbar\,\delta_{ab} </math>

uansett hvordan disse to konjugerte operatorene blir representert.