Redigerer Matrise (avsnitt)

== Teori for generelle matriser ==

=== Matriserang ===
Rangen til en matrise er det største antallet [[lineær uavhengighet|lineært uavhengige]] rekker eller kolonner i matrisen.<ref name=FB101>[[#FB| Fr. Fabricius-Bjerre: ''Lærebog i geometri....'']] s.101ff </ref>

Dersom rangen i en matrise er lik <math>p</math>, så eksisterer det en kvadratisk, ikke-singulær undermatrise av dimensjon (''p''×''p''), mens eventuelle kvadratiske
undermatriser av høyere dimensjon  er singulære.

Rangen til en matrise endres ikke dersom det utføres en eller flere elementære operasjoner på matrisen.  

=== Matrisenorm ===
: ''Utdypende artikkel:'' [[Norm (matematikk)]]
Normen til en generell matrise <math>A</math> er et ikke-negativ reelt tall <math>\|A\|</math> definert med de følgende egenskapene<ref name=GL14>[[#GL|G.H.Golub, C.F.Van Loan: ''Matrix computations'']] s.14-15 </ref>

* <math>\|A\|> 0</math> hvis <math>A \ne 0</math> og <math>\|A\| =  0</math> hvis og bare hvis <math>A=0 \, </math>.

* <math>\|\alpha A\|=|\alpha| \|A\|</math> for alle skalarer <math>\alpha \,</math>.

* <math>\|A+B\| \le \|A\|+\|B\|</math> for alle matriser <math>A</math> og <math>B</math>.

Det eksisterer en stort utvalg av matrisenormer, eksempelvis:

:<math>
\begin{alignat}{2}
 \| A \|_1 &= \max_j \sum_i |a_{ij}| \\
 \| A \|_\infty &= \max_i \sum_j |a_{ij}| \\ 
 \| A \|_F &= \left( \sum_i \sum_j a_{ij}^2 \right )^{1/2} = \operatorname{tr} (A^T A)^{1/2} 
\end{alignat}
</math>

Den siste normen kalles Frobenius-normen og er mye brukt i numerisk analyse. 

=== Lineære ligninger ===
Lineære algebraiske ligninger er ligninger på formen

: <math>A x = b, \, </math>

der <math>A</math> er en kjent koeffisientmatrise og <math>b</math> en kjent vektor. Den ukjente <math>x</math> er også en vektor. For et system med like mange ligninger som ukjente kan en formelt skrive en entydig løsning som

: <math>x = A^{-1}b \, . </math>
 
Løsningen eksisterer dersom den inverse matrisen <math>A^{-1}</math> er definert, det vil si dersom matrisen er ikke-singulær. Lineære ligninger kan løses ved hjelp av [[Cramers regel]] eller ved [[Gauss-eliminasjon]].

I det generelle tilfellet der <math>A</math> er en ikke-kvadratisk matrise, så kan matriserang brukes til å studere om systemet har ingen, én eller mange løsninger.<ref name=FB116>[[#FB| Fr. Fabricius-Bjerre: ''Lærebog i geometri....'']] s.116ff </ref>   

=== Lineære transformasjoner ===
Matriser er nært knyttet til [[lineær transformasjon|lineære transformasjoner]].<ref name=FB159>[[#FB| Fr. Fabricius-Bjerre: ''Lærebog i geometri....'']] s.159 </ref>
La <math>f</math> være en lineær transformasjon mellom to endelig-dimensjonale vektorrom: <math>f: V_m \leftarrow V_n</math>.
Anta at det er valgt [[basis (matematikk)|basis]] for hver av de to vektorrommene. Da kan transformasjonen representeres på matriseform: 

: <math>f(x) = A x \, .</math>

Matrisen <math>A</math> har dimensjon ''(n''×''m)''. Hver kolonne i <math>A</math> representerer transformasjonen av en basisvektor i <math>V_n</math>
relativ til den valgte basisen i <math>V_m</math>.  Elementene i <math>A</math> kalles komponentene til transformasjonen, relativ til de to valgte basisene.  
Med valgte basiser for <math>V_n</math> og <math>V_m</math> er vektorrommet av matriser <math>\mathbb{R}^{n \times m}</math> [[isomorfisme|isomorft]] med vektorrommet 
av lineære transformasjoner fra <math>V_m</math> til <math>V_n</math>.<ref name=AP52>[[#AP|T.M. Apostol: ''Calculus '', Bind II ]] s.52 </ref>

Når matrisen ''A'' er ortogonal, sies også <math>f</math> å være en ortogonal transformasjon. Slike transformasjoner har mange anvendelser, blant annet i [[geometri]] 
for å beskrive operasjoner som translasjon, rotasjon, speilvending, projeksjon og skalering av objekter i rommet.

To kvadratiske matriser <math>A</math> og <math>B</math> sies å være similære dersom det eksisterer en tredje invertibel matrise <math>P</math> slik at<ref name=HL275/>

:<math>A = P B P^{-1}</math>.

Similære matriser er representasjoner av én og samme lineære transformasjon, men relativ til ulike basis-valg.<ref name=RDM78>[[#RDM| R. D. Milne: ''Applied functional analysis...'']] s.78 </ref>

=== Singulærverdier ===
Singulærverdiene til en matrise <math>A</math> med dimensjon ''(n''&nbsp;×&nbsp;''m)'' er [[kvadratrot | kvadratrøttene]] til egenverdiene til produktet <math>AA^H</math> 
dersom <math>n \le m</math> og til produktet <math>A^H A</math> dersom <math>m \le n</math>.

En matrise <math>A</math> kan alltid skrives som et matriseprodukt

: <math>A = UDV^H,  \, </math>

der <math>D</math> er en diagonalmatrise av singulærverdiene, og <math>U</math> og <math>V</math> er unitære matriser. Matriseproduktet <math>UDV^H</math> kalles singulærverdi-dekomponeringen til matrisen.