Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

===Impulsbasis===
Egenvektorene <math> |p \rangle </math> til impulsoperatoren  <math> \hat{p}  </math> danner et fullstendig sett og kan benyttes som en ny basis i Hilbert-rommet. Den er nå normert på en tilsvarende måte som for posisjonsbasisen. Det følger fra innsettelse av en enhetsoperator som gir

: <math>\begin{align} \langle p'|p\rangle &= \langle p'|\hat{I} |p\rangle =  \int_{-\infty}^\infty\!dx\, \langle p'|x \rangle \langle x| p \rangle = \int_{-\infty}^\infty\!dx\, e^{i(p - p')x/\hbar} \\ &= 2\pi\hbar\, \delta(p' - p) \end{align} </math>

når man benytter standardintegralet som definerer [[Diracs deltafunksjon|delta-funksjonen]].

På lignende måte kan innføre en bølgefunksjon i dette impulsrommet som representasjon av en tilstand <math> |\psi \rangle. </math> Den kan defineres ved komponenten <math> \bar{\psi}(p) = \langle p |\psi\rangle </math> og er  en projeksjonen av tilstandsvektoren på basisvektoren. Sammenhengen med den tilsvarende bølgefunksjonen i koordinatrommet følger nå på samme vis fra

: <math> \bar{\psi} (p) =  \int_{-\infty}^\infty\!dx\,\langle p| x\rangle \langle x|\psi \rangle = \int_{-\infty}^\infty\!dx\, \psi(x)\, e^{-ipx/\hbar} </math>

som viser at de er hverandres [[Fourier-transformasjon|Fourier-transformerte]]. Den inverse transformasjonen er derfor

: <math> \psi(x) = \int_{-\infty}^\infty\!{dp\over 2\pi\hbar} \bar{\psi}(p)\, e^{ipx/\hbar} </math>

som igjen følger fra definisjonen av delta-funksjonen.

Mens impulsoperatoren kan her behandles som et vanlig tall, vil posisjonsoperatoren <math> \hat{x}  </math> virke som en [[derivasjon]]. Det følger fra

: <math> \langle p| \hat{x} |x\rangle = x\langle p|x\rangle = xe^{-ipx/\hbar} = i\hbar\partial_p \langle p |x\rangle </math>

som gir mer generelt for en vilkårlig tilstand at

: <math> \langle p| \hat{x} |\psi \rangle = i\hbar\partial_p \langle p |\psi \rangle </math>

Posisjonsoperatoren kan derfor erstattes med derivasjonsoperatoren <math> i\hbar\partial_p </math> når den virker på bølgefunksjoner i impulsrommet.