Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

===Translasjoner og impuls===

For partikler som kan bevege seg på en åpen linje, kan vi fritt velge [[origo]] hvor vi vil. Det tilsvarer at i stedet for basisvektorene <math> |x\rangle </math> kan vi benytte et nytt sett

: <math> |x'\rangle = |x + a \rangle = \hat{T}(a) |x\rangle  </math>

som finnes ved bruk av «translasjonsoperatoren» <math> \hat{T}(a) .</math> På samme måte som [[Kvantemekanikk#Tidsutvikling og Heisenberg-bilde|tidsutviklingsoperatoren]] <math> \hat{U}(t) </math> foretar en forflytning av systemet i tid, vil translasjonsoperatoren forflytte systemet i rommet. Den må på samme måte være en unitær operator som kan skrives på den generelle formen

: <math> \hat{T}(a) = e^{-i\hat{p}a/\hbar} </math>

hvor <math> \hat{p} </math> er en hermitisk operator. Den er generator for infinitesimale eller veldig korte translasjoner  i rommet.<ref name = Merzbacher/>

Under en endelig translasjon vil bølgefunksjonen forandres til

: <math> \psi(x + a) = \langle x + a|\psi \rangle = \langle x|e^{i\hat{p}a /\hbar} |\psi \rangle </math>

I grensen der ''a'' &rarr; 0, er derfor forandringen generelt gitt ved

: <math>\begin{align} &\psi(x) + a {\partial\psi\over\partial x}  = \langle x| \hat{I} + {i\over\hbar} \hat{p}a | \psi \rangle \\ &=  \psi(x) +  {i\over\hbar}a\langle x |\hat{p}|\psi \rangle \end{align}</math>

På denne måten kommer man frem til det viktige resultatet

: <math> \langle x |\hat{p}|\psi \rangle = -i\hbar {\partial\over\partial x} \langle x|\psi \rangle </math>

for denne generatoren. Da den er en hermitisk operator, vil den ha reelle egenverdier. Skriver man de tilsvarende egenvektorene som <math> |p \rangle </math> med <math> \hat{p} |p \rangle = p |p \rangle ,</math> vil bølgefunksjonen <math> \psi_p(x) = \langle x|p \rangle </math> for denne egentilstanden oppfylle den enkle differensialligningen

: <math> p\,\psi_p (x) = -i\hbar {\partial\over\partial x} \psi_p(x) </math>

[[Fil:Grave of Max Born at Stadtfriedhof Göttingen 2017 01.jpg|200px|thumb|Gravstein til [[Max Born]]  og hans kone i [[Göttingen]].]] 
Løsningen kan skrives som den plane bølgen

: <math> \psi_p (x) =  \langle x|p \rangle = e^{ipx/\hbar} </math>

når man setter dens amplitude til å være lik med én. Dette er bølgefunksjonen for en fri partikkel med impuls ''p''. Generatoren <math> \hat{p} </math> for translasjoner langs ''x''-aksen er derfor impulsoperatoren for samme retning.<ref name = Merzbacher/>

Ut fra dette ser man at Schrödingers bølgemekanikk oppstår som fremstilling av en mer generell kvantemekanikk hvor man har valgt å benytte en koordinatbasis. Generelt har man nå at

: <math> \langle x |\hat{p}^n |\psi \rangle = (-i\hbar\partial_x)^n  \langle x |\psi \rangle </math>

og derfor

: <math> \langle x |F(\hat{x}, \hat{p}) |\psi \rangle =   F(x, -i\hbar\partial_x)\langle x |\psi \rangle </math>

Hvis <math> \hat{F} = F(\hat{x}, \hat{p}) </math> er en hermitisk operator, er rekkefølgen til operatorene <math> \hat{x} </math> og <math> \hat{p} </math> viktig der de opptrer sammen. Dette kan tydeliggjøres ved å regne ut amplituden

: <math>  \langle x |\hat{x}\hat{p}|\psi \rangle = x  \langle x |\hat{p}|\psi \rangle = -ix\hbar\partial_x \psi </math>

Sammenlignes den med den tilsvarende amplituden

: <math>  \langle x |\hat{p}\hat{x}|\psi \rangle = -i\hbar\partial_x (x\psi) =  -i\hbar (\psi + x\partial_x\psi) , </math>

finnes nå ved subtraksjon at kommutatoren

: <math> [\hat{x}, \hat{p} ] = i\hbar </math>

da det funne resultat må være gyldig for alle funksjoner <math> \psi(x). </math> Det var Heisenberg som kom frem til denne sammenhengen i sitt  første arbeid om matrisemekanikk, men det var [[Max Born]] som innså dens kanoniske betydning. Den er risset inn på hans gravstein i [[Göttingen]].