Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

==Posisjonsbasis==

Hvis man betrakter en partikkel som kan klassisk kan befinne seg på et av en mengde diskrete punkter ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, .., ''x<sub>N</sub>&thinsp;'' i et større molekyl eller i en krystall, kan en man i en kvantemekanisk beskrivelse benytte et tilsvarende sett med basisvektorer <math> |x_1\rangle , |x_2\rangle , \ldots |x_N\rangle</math>. De er ortonormerte på den måten at <math> \langle x_i |x_j \rangle = \delta_{ij} </math> når man på høyre side benytter et [[Kronecker-delta]]. Identitetsoperatoren i denne basisen er dermed

: <math> \hat{I} = \sum_{n = 1}^N |x_n\rangle \langle x_n | </math>

En vilkårlig tilstandsvektor <math>  |\psi\rangle </math> kan da representeres ved ''N&thinsp;'' sannsynlighetsamplituder  <math>  \psi_n = \langle x_n|\psi \rangle </math> som generelt vil variere med tiden.

Av større betydning er å betrakte en partikkel som kan bevege seg på en rett linje med en koordinat. Kalles denne for ''x'', vil man da innføre kvantemekaniske basistilstander <math> |x\rangle .</math>  De må da betraktes som egenvektorer til en posisjonsoperator <math> \hat{x} </math> slik at <math> \hat{x}|x\rangle = x|x\rangle . </math>

Da koordinaten ''x&thinsp;'' varierer kontinuerlig , vil det tilsvarende Hilbert-rommet dermed få uendelig mange dimensjoner. Som for det diskrete tilfellet er det nå naturlig å definere identitetsoperatoren ved integralet

: <math> \hat{I} = \int_{-\infty}^\infty\!dx\, |x \rangle \langle x | </math>

som har et abstrakt innhold, men kan benyttes på en konkret måte. For eksempel, en tilstand <math> |x'\rangle .</math> kan skrives som

: <math> |x'\rangle = \hat{I}|x'\rangle =  \int_{-\infty}^\infty\!dx\, |x \rangle \langle x | x' \rangle </math>

For at dette sal være konsistent, må man derfor ha den kontinuerlige normeringen

: <math>  \langle x | x' \rangle  = \delta (x - x') </math>

som uttrykkes ved [[Diracs deltafunksjon]]. For en vilkårlig funksjon ''f''(''x''&thinsp;) er den definert ved integralet

: <math>  \int_{-\infty}^\infty\!dx\,f(x) \delta(x - a) = f(a) </math>

Den bidrar bare i punktet ''x'' = ''a&thinsp;'' og er null ellers. Denne singulære egenskapen er ikke noe problem i praktiske anvendelser av funksjonen. På samme måte vil representasjon av operatorer i denne basisen gi opphav til matriser med kontinuerlige indekser. Likevel vil den formelle strukturen av Diracs kvantemekanikk ble bevart uten særlige forandringer.<ref name = Dirac-QM/>

Når partikkelen befinner seg i en generell tilstand <math>  |\psi \rangle </math>, er sannsynlighetsamplituden for  at den befinner seg i posisjon ''x&thinsp;'' gitt ved projeksjonen

: <math> \psi(x) = \langle x| \psi\rangle </math>

Dette er [[bølgefunksjon]]en til partikkelen og kan betraktes som komponenten av tilstandsvektoren i ''x''-retning.

===Translasjoner og impuls===

For partikler som kan bevege seg på en åpen linje, kan vi fritt velge [[origo]] hvor vi vil. Det tilsvarer at i stedet for basisvektorene <math> |x\rangle </math> kan vi benytte et nytt sett

: <math> |x'\rangle = |x + a \rangle = \hat{T}(a) |x\rangle  </math>

som finnes ved bruk av «translasjonsoperatoren» <math> \hat{T}(a) .</math> På samme måte som [[Kvantemekanikk#Tidsutvikling og Heisenberg-bilde|tidsutviklingsoperatoren]] <math> \hat{U}(t) </math> foretar en forflytning av systemet i tid, vil translasjonsoperatoren forflytte systemet i rommet. Den må på samme måte være en unitær operator som kan skrives på den generelle formen

: <math> \hat{T}(a) = e^{-i\hat{p}a/\hbar} </math>

hvor <math> \hat{p} </math> er en hermitisk operator. Den er generator for infinitesimale eller veldig korte translasjoner  i rommet.<ref name = Merzbacher/>

Under en endelig translasjon vil bølgefunksjonen forandres til

: <math> \psi(x + a) = \langle x + a|\psi \rangle = \langle x|e^{i\hat{p}a /\hbar} |\psi \rangle </math>

I grensen der ''a'' &rarr; 0, er derfor forandringen generelt gitt ved

: <math>\begin{align} &\psi(x) + a {\partial\psi\over\partial x}  = \langle x| \hat{I} + {i\over\hbar} \hat{p}a | \psi \rangle \\ &=  \psi(x) +  {i\over\hbar}a\langle x |\hat{p}|\psi \rangle \end{align}</math>

På denne måten kommer man frem til det viktige resultatet

: <math> \langle x |\hat{p}|\psi \rangle = -i\hbar {\partial\over\partial x} \langle x|\psi \rangle </math>

for denne generatoren. Da den er en hermitisk operator, vil den ha reelle egenverdier. Skriver man de tilsvarende egenvektorene som <math> |p \rangle </math> med <math> \hat{p} |p \rangle = p |p \rangle ,</math> vil bølgefunksjonen <math> \psi_p(x) = \langle x|p \rangle </math> for denne egentilstanden oppfylle den enkle differensialligningen

: <math> p\,\psi_p (x) = -i\hbar {\partial\over\partial x} \psi_p(x) </math>

[[Fil:Grave of Max Born at Stadtfriedhof Göttingen 2017 01.jpg|200px|thumb|Gravstein til [[Max Born]]  og hans kone i [[Göttingen]].]] 
Løsningen kan skrives som den plane bølgen

: <math> \psi_p (x) =  \langle x|p \rangle = e^{ipx/\hbar} </math>

når man setter dens amplitude til å være lik med én. Dette er bølgefunksjonen for en fri partikkel med impuls ''p''. Generatoren <math> \hat{p} </math> for translasjoner langs ''x''-aksen er derfor impulsoperatoren for samme retning.<ref name = Merzbacher/>

Ut fra dette ser man at Schrödingers bølgemekanikk oppstår som fremstilling av en mer generell kvantemekanikk hvor man har valgt å benytte en koordinatbasis. Generelt har man nå at

: <math> \langle x |\hat{p}^n |\psi \rangle = (-i\hbar\partial_x)^n  \langle x |\psi \rangle </math>

og derfor

: <math> \langle x |F(\hat{x}, \hat{p}) |\psi \rangle =   F(x, -i\hbar\partial_x)\langle x |\psi \rangle </math>

Hvis <math> \hat{F} = F(\hat{x}, \hat{p}) </math> er en hermitisk operator, er rekkefølgen til operatorene <math> \hat{x} </math> og <math> \hat{p} </math> viktig der de opptrer sammen. Dette kan tydeliggjøres ved å regne ut amplituden

: <math>  \langle x |\hat{x}\hat{p}|\psi \rangle = x  \langle x |\hat{p}|\psi \rangle = -ix\hbar\partial_x \psi </math>

Sammenlignes den med den tilsvarende amplituden

: <math>  \langle x |\hat{p}\hat{x}|\psi \rangle = -i\hbar\partial_x (x\psi) =  -i\hbar (\psi + x\partial_x\psi) , </math>

finnes nå ved subtraksjon at kommutatoren

: <math> [\hat{x}, \hat{p} ] = i\hbar </math>

da det funne resultat må være gyldig for alle funksjoner <math> \psi(x). </math> Det var Heisenberg som kom frem til denne sammenhengen i sitt  første arbeid om matrisemekanikk, men det var [[Max Born]] som innså dens kanoniske betydning. Den er risset inn på hans gravstein i [[Göttingen]].

===Impulsbasis===
Egenvektorene <math> |p \rangle </math> til impulsoperatoren  <math> \hat{p}  </math> danner et fullstendig sett og kan benyttes som en ny basis i Hilbert-rommet. Den er nå normert på en tilsvarende måte som for posisjonsbasisen. Det følger fra innsettelse av en enhetsoperator som gir

: <math>\begin{align} \langle p'|p\rangle &= \langle p'|\hat{I} |p\rangle =  \int_{-\infty}^\infty\!dx\, \langle p'|x \rangle \langle x| p \rangle = \int_{-\infty}^\infty\!dx\, e^{i(p - p')x/\hbar} \\ &= 2\pi\hbar\, \delta(p' - p) \end{align} </math>

når man benytter standardintegralet som definerer [[Diracs deltafunksjon|delta-funksjonen]].

På lignende måte kan innføre en bølgefunksjon i dette impulsrommet som representasjon av en tilstand <math> |\psi \rangle. </math> Den kan defineres ved komponenten <math> \bar{\psi}(p) = \langle p |\psi\rangle </math> og er  en projeksjonen av tilstandsvektoren på basisvektoren. Sammenhengen med den tilsvarende bølgefunksjonen i koordinatrommet følger nå på samme vis fra

: <math> \bar{\psi} (p) =  \int_{-\infty}^\infty\!dx\,\langle p| x\rangle \langle x|\psi \rangle = \int_{-\infty}^\infty\!dx\, \psi(x)\, e^{-ipx/\hbar} </math>

som viser at de er hverandres [[Fourier-transformasjon|Fourier-transformerte]]. Den inverse transformasjonen er derfor

: <math> \psi(x) = \int_{-\infty}^\infty\!{dp\over 2\pi\hbar} \bar{\psi}(p)\, e^{ipx/\hbar} </math>

som igjen følger fra definisjonen av delta-funksjonen.

Mens impulsoperatoren kan her behandles som et vanlig tall, vil posisjonsoperatoren <math> \hat{x}  </math> virke som en [[derivasjon]]. Det følger fra

: <math> \langle p| \hat{x} |x\rangle = x\langle p|x\rangle = xe^{-ipx/\hbar} = i\hbar\partial_p \langle p |x\rangle </math>

som gir mer generelt for en vilkårlig tilstand at

: <math> \langle p| \hat{x} |\psi \rangle = i\hbar\partial_p \langle p |\psi \rangle </math>

Posisjonsoperatoren kan derfor erstattes med derivasjonsoperatoren <math> i\hbar\partial_p </math> når den virker på bølgefunksjoner i impulsrommet.

===Tre dimensjoner===

For å lokalisere en partikkel som kan bevege seg i et tredimensjonalt rom, kan man bruke [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]]. Dens posisjon er da gitt ved vektoroperatoren

:  <math>  \hat\mathbf{x} = \sum_{a=1}^3 \hat{x}_a \mathbf{e}_a .</math>

med ortonormerte  basisvektorer <math>  \mathbf{e}_a\cdot\mathbf{e}_b = \delta_{ab}. </math> 
Den har egentilstander <math> |\mathbf{x}\rangle = |x\rangle |y\rangle |z\rangle </math> slik at  <math>  \hat\mathbf{x}|\mathbf{x}\rangle = \mathbf{x} |\mathbf{x}\rangle .</math> Normeringen tas over fra én dimensjon og er derfor

: <math> \langle \mathbf{x} |\mathbf{x}'\rangle = \delta( \mathbf{x} - \mathbf{x}') </math>

når man skriver <math>  \delta( \mathbf{x} - \mathbf{x}') = \delta(x - x')\delta(y - y')\delta(z - z') .</math> Enhetsoperatoren I tre dimensjoner er derfor

: <math> \hat{I} = \int\! d^3x\, |\mathbf{x} \rangle \langle \mathbf{x} | </math>

når man benytter denne normeringen.<ref name = Merzbacher/>

Operatoren for translasjonen <math>  \mathbf{x} \rightarrow  \mathbf{x}' =  \mathbf{x} +  \mathbf{a} \; </math> er

: <math> \hat{T} (\mathbf{a} ) = e^{-i\hat\mathbf{p}\cdot \mathbf{a}/\hbar} </math>

hvor <math> \hat\mathbf{p} </math> er impulsoperatoren I tre dimensjoner. Dens egentilstander <math> |\mathbf{p} \rangle </math> får nå normeringen

: <math>  \langle \mathbf{p}' |\mathbf{p} \rangle = (2\pi\hbar)^3 \delta(\mathbf{p}' -\mathbf{p}) </math>

og kan representeres ved bølgefunksjonen

: <math> \psi_{\mathbf{p}}(\mathbf{x}) = \langle\mathbf{x} |\mathbf{p} \rangle  = e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}/\hbar} </math>

i koordinatrommet. På tilsvarende vis er en generell tilstand <math> |\psi \rangle </math> representert ved bølgefunksjon

: <math> \psi(\mathbf{x}) = \langle \mathbf{x}|\psi\rangle  </math>

Den er relatert til en ekvivalent bølgefunksjon <math> \bar\psi(\mathbf{p}) =  \langle \mathbf{p}|\psi\rangle  </math> i impulsrommet ved Fourier-integralet

: <math> \psi(\mathbf{x}) = \int\! {d^3p\over (2\pi\hbar)^3}  \bar\psi(\mathbf{p})\, e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}/\hbar} </math>

Impulsoperatoren <math> \hat\mathbf{p} </math> er representert ved <math> -i\hbar\partial_{\mathbf{x}} </math> i koordinatrommet hvor <math> \partial_{\mathbf{x}} </math> er [[nabla-operator]]en <math> \boldsymbol{\nabla} </math> med komponenter <math> (\partial_x, \partial_y, \partial_z ). </math>  Egenverdiligningen <math>  \hat{H}|\psi\rangle = E|\psi\rangle </math> med Hamilton-operatoren

: <math> \hat{H} =  {\hat\mathbf{p}^2\over 2m} + V(\hat\mathbf{x}) </math>

gir dermed den tidsuavhengige Schrödinger-ligningen

: <math> \Big[ -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + V(\mathbf{x}) \Big] \psi(\mathbf{x}) = E \psi(\mathbf{x}) </math>

når den blir representert i det tredimensjonale koordinatrommet.

På tilsvarende vis er posisjonsoperatoren <math> \hat\mathbf{x} </math> representert ved <math> i\hbar\partial_{\mathbf{p}} </math> i impulsrommet som også kan benyttes til å gi en ny representasjon av Schrödinger-ligningen. Derimot vil den kanoniske kommutator i tre dimensjoner alltid være

: <math> [\hat{x}_a ,\hat{p}_b] = i\hbar\,\delta_{ab} </math>

uansett hvordan disse to konjugerte operatorene blir representert.

===Rotasjoner og dreieimpuls===

Under rotasjon med en vinkel ''&phi;&thinsp;'' om ''z''-aksen vil de to andre koordinatene forandres til

: <math>\begin{align} x \rightarrow x' &= x\cos\phi - y\sin\phi \\ y \rightarrow y' &= x\sin\phi + y\cos\phi  \end{align}</math>

Når dreievinkelen blir tilstrekkelig liten ''&delta;&phi;'', kan man sette {{nowrap|cos''&phi;'' {{=}} 1}} og  {{nowrap|sin''&phi;'' {{=}} ''&delta;&phi;''.}}  Koordinatforandringene blir dermed {{nowrap|''&delta;x'' {{=}} ''x' - x''}} = -''y&delta;&phi;'' og {{nowrap|''&delta;y'' {{=}} ''y' - y''}} = ''x&delta;&phi;''. Ved å benytte enhetsvektoren '''e'''<sub>''z''</sub> langs ''z''-aksen, kan denne forandringen skrives mer kompakt som {{nowrap|''&delta;''&thinsp;'''r''' {{=}} ''&delta;&phi;''&thinsp;'''e'''<sub>''z''</sub>&thinsp;&times;&thinsp;'''r'''}}. Generelt kan derfor effekten av den samme rotasjonen om en vilkårlig enhetsvektor '''n''' skrives

: <math> \delta\mathbf{r} =  \mathbf{r}' - \mathbf{r} = \delta\phi\, \mathbf{n} \times \mathbf{r} </math>

Det er derfor naturlig å betrakte ''&delta;&phi;''&thinsp;'''n''' = ''&delta;''&thinsp;'''&phi;''' som en vektoriell vinkel som også angir retningen til rotasjonsaksen.

På samme måte som en klassisk translasjon av en posisjonsvektor fører til en tilsvarende translasjonsoperator, vil en rotasjon kvantemekanisk være gitt ved en rotasjonsoperator  <math> \hat{R} </math> definert ved

: <math>  |\mathbf{r}\rangle \rightarrow |\mathbf{r}' \rangle =  \hat{R} (\boldsymbol{\phi})|\mathbf{r}\rangle </math>

for en endelig rotasjon  <math> \boldsymbol{\phi} = \phi \,\mathbf{n}. </math> Operatoren må være unitær og vil derfor ha formen

: <math> \hat{R}(\boldsymbol{\phi}) = \exp(-{i\over\hbar} \hat\mathbf{L}\cdot\boldsymbol{\phi}) </math>

hvor <math> \;\hat\mathbf{L} \;</math> er en hermitisk operator som genererer infinitesemale rotasjoner. Da vil bølgefunksjon <math> \psi(\mathbf{r}) = \langle \mathbf{r}|\psi\rangle  </math> gå over til å bli

: <math> \psi(\mathbf{r} + \delta\mathbf{r}) = \langle\mathbf{r}' |\psi \rangle = \psi(\mathbf{r}) + {i\over\hbar} \langle\mathbf{r} |\hat\mathbf{L}\cdot\delta\boldsymbol{\phi} |\psi\rangle  </math>

Da denne lille forandringen er

: <math>\begin{align} \delta\psi(\mathbf{r}) &= \psi(\mathbf{r}') - \psi(\mathbf{r}) = \delta\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\nabla}\psi \\ &= (\delta\boldsymbol{\phi} \times \mathbf{r})\cdot \boldsymbol{\nabla}\psi  = \delta\boldsymbol{\phi}\cdot( \mathbf{r} \times  \boldsymbol{\nabla}) \psi , \end{align}  </math>

kommer man frem til det viktige resultatet

: <math> \langle\mathbf{r} |\hat\mathbf{L}| \psi\rangle =  - i\hbar\, \mathbf{r} \times  \boldsymbol{\nabla} \psi(\mathbf{r}) </math>

Selv om det er her utledet i koordinatbasis, er likevel dreieimpulsoperatoren <math> \hat\mathbf{L} = \hat\mathbf{r}\times \hat\mathbf{p} </math> alltid generatoren for rotasjoner.<ref name = Davydov/>

===Aktive transformasjoner===

Når rotasjonsoperatoren <math> \hat{R}(\boldsymbol{\phi}) </math> utledes som her ved å ta den virke på basisvektorene, sies transformasjonen å være '''passiv'''.  I dette bildet påvirkes  ikke tilstandsvektoren  <math> |\psi \rangle </math> av operasjonen. Men vektoren vil ha nye komponenter i den transformerte basisen

: <math>  \psi(\mathbf{r}' )  = \langle\mathbf{r}'|\psi \rangle =   \langle\mathbf{r}| \hat{R}(-\boldsymbol{\phi}) |\psi \rangle </math>

da <math> \hat{R}^\dagger (\boldsymbol{\phi}) =   \hat{R}^{-1}(\boldsymbol{\phi}) = \hat{R}(-\boldsymbol{\phi}) .</math>  Denne sammenhengen kan alternativt forstås som at den samme transformasjonen virker  på selve tilstandsvektoren og dreier den i motsatt retning <math> -\boldsymbol{\phi}. </math> En '''aktiv''' rotasjon med rotasjonsvinkel <math> \boldsymbol{\phi} </math> vil da være

: <math> |\psi\rangle \rightarrow |\psi'\rangle =  \hat{R}(\boldsymbol{\phi}) |\psi \rangle </math>

Den påvirker ikke basisvektorene slik at komponentene til den roterte tilstandsvektoren blir

: <math> \psi'(\mathbf{r})  = \langle\mathbf{r}|\psi' \rangle =   \langle\mathbf{r}| \hat{R}(\boldsymbol{\phi}) |\psi \rangle </math>

uttrykt i de opprinnelige koordinatene. Denne nye funksjonen har den spesielle egenskapen at <math> \; \psi'(\mathbf{r'}) =  \psi(\mathbf{r}).  </math> Det er en konsekvens av det unitære kravet <math> \hat{R}^\dagger \hat{R} = \hat{I} </math> og gjelder også for translasjoner i rommet. For de fleste anvendelser av kvantemekanikken benyttes slike aktive transformasjoner.