Redigerer Den generelle relativitetsteorien (avsnitt)

==Gravitasjonsstråling==

[[Einsteins feltligning|Einsteins gravitasjonsligning]] er ikke-lineær og lar seg ikke løse eksakt i de fleste tilfeller. Men når metrikken  ''g<sub>&mu;&nu;</sub>''(''x'') til tidrommet skiller seg bare litt fra [[Kovariant relativitetsteori|Minkowski-metrikken]]  ''&eta;<sub>&mu;&nu;</sub>'', tar ligningen en lineær form og den forenkles til en lineær [[bølgeligning]]. Dette forutsetter at det finnes et globalt koordinatsystem hvor den metriske tensoren kan skrives på formen

: <math> g_{\mu\nu}(x) = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}(x) </math>

hvor avviket eller [[perturbasjon]]en må oppfylle ''h<sub>&mu;&nu;</sub>'' << 1. Men disse koordinatene er i alminnelighet ikke entydige. Man kan fremdeles foreta små koordinattransformasjoner av formen ''x<sup>&thinsp;&mu;</sup>'' &rarr; ''x<sup>&thinsp;&mu;</sup>'' + ''&xi;<sup>&thinsp;&mu;</sup>'' slik at denne oppsplittingen av metrikken vil bevare formen. Det eneste som skjer er at perturbasjonen får en litt annen verdi,

: <math> h_{\mu\nu} \rightarrow h_{\mu\nu} - \partial_\mu\xi_\nu  - \partial_\nu\xi_\mu </math>

på tilsvarende måte som det [[elektromagnetisk felt|elektromagnetiske]] potensialet ''A<sub>&mu;</sub>'' forandres under en [[gaugetransformasjon]]. Denne friheten kan man benytte til å pålegge potensialene en ekstra gaugebetingelse. I analogi med [[Gaugetransformasjon#Lorenz-gauge|Lorenz-gaugen]] ''&part;<sub>&mu;</sub>&thinsp;A<sup>&mu;</sup>'' = 0, er det her hensiktsmessig å gjør bruk av '''Hilbert-gaugen''' som er definert ved<ref name = MTW/>

: <math> \partial_\mu h^\mu_{\;\nu}  - {1\over 2} \partial_\nu h^\mu_{\;\mu} = 0 </math>

Med dette valget forenkles Ricci-tensoren til

: <math> R_{\mu\nu} = - {1\over 2}\partial^2 h_{\mu\nu} </math>
 
og feltligningen kan skrives som

: <math> R_{\mu\nu} - {1\over 2}\eta_{\mu\nu}R = - {1\over 2}\partial^2\Big(h_{\mu\nu} - {1\over 2}\eta_{\mu\nu}h\Big) = 8\pi G T_{\mu\nu} </math>
 
hvor ''h = h<sup>&mu;</sup><sub>&mu;</sub>'' er sporet av perturbasjonen  ''h<sub>&mu;&nu;</sub>''. Ved å definere det modifiserte tensorfeltet

: <math> \bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - {1\over 2}\eta_{\mu\nu}h, </math>

tar da feltligningen den endelige formen

: <math> \partial^2\bar{h}_{\mu\nu} = - 16\pi G T_{\mu\nu} </math>

som  viser at perturbasjonen forplanter seg som en vanlig [[bølge]], drevet av energi-impulstensoren. Dette beskriver [[gravitasjonsbølge|gravitasjonsstråling]] som ble for første gang direkte observert i 2016.

===Harmonisk gravitasjonsbølge===
[[Fil:Pol.jpg|thumb|400px|Illustrasjon av hvordan en ring med partikler vil bevege seg under påvirkning av de to gravitasjonsbølgene  ''h''<sub>+</sub>  og ''h''<sub>&times;</sub>.]]
En plan, harmonisk bølge forplanter seg med en bestemt frekvens ''&omega;'' i en viss retning gitt ved en bølgevektor '''k'''. Utenfor kilden til bølgen kan man sette  {{nowrap|''T<sub>&mu;&nu;</sub>'' {{=}} 0}} og bølgeligningen gir direkte at {{nowrap|''&omega; {{=}} ck''}}. Dette viser at den beveger seg med [[lyshastigheten]] ''c'', noe som ble bekreftet i 2017 med meget stor nøyaktighet ved observasjon av gravitasjonsbølgen fra en sammensmelting av to [[nøytronstjerne]]r.<ref name = GravWaveSpeed>[[LIGO|LIGO Collaboration]], [http://iopscience.iop.org/article/10.3847/2041-8213/aa920c/pdf ''Gravitational Waves and Gamma-Rays from a Binary Neutron Star Merger: GW170817 and GRB 170817A''], Astrophysical Journal Letters '''848:L13''',  October 20 (2017).</ref>

Selv etter å ha valgt Hilbert-gaugen, kan man fremdeles foreta spesielle koordinattransformasjoner. Egenskapene til en [[bølge#Plane bølger|plan bølge]] kommer klarest frem ved bruk av en '''TT-gauge''' hvor perturbasjonen ''T<sub>&mu;&nu;</sub>'' kun har komponenter i et plan som står vinkelrett på utbredelsesretningen (T for transvers) og samtidig har spor {{nowrap|''h'' {{=}} 0}} (T for traseløs). Av de opprinnelige ti komponentene til perturbasjonen står det da bare to igjen. De representerer de to frihetsgradene til bølgen som tilsvarer polarisasjon i to forskjellige retninger som står normalt på forplantningsretningen '''k'''.

Hvis man velger denne retningen langs ''z''-aksen, vil den første polariserte moden ''h''<sub>+</sub> gi komponentene {{nowrap|''h<sub>xx</sub>'' {{=}} - ''h<sub>yy</sub>''  {{=}} ''h''<sub>+</sub>}}. Den andre moden ''h''<sub>&times;</sub> bidrar kun til de to ikke-diagonale komponentene {{nowrap|''h<sub>xy</sub>'' {{=}} ''h<sub>yx</sub>'' {{=}} ''h''<sub>&times;</sub>}}. [[Metrisk tensor|Det kvadratiske linjeelementet]] til et tidrom med en plan gravitasjonsbølge tar derfor formen

: <math> ds^2 = dt^2 - (1 - h_+)dx^2 - (1 + h_+)dy^2 + 2h_\times dx dy - dz^2  </math>

Betrakter man en ring av partikler som står vinkelrett på bølgen, vil moden ''h''<sub>+</sub>  i løpet av en halv [[periode (fysikk)|periode]] gi en sammentrekning av ringen i ''x''-retning samtidig som den utvides i ''y''-retning. I neste halvperiode er disse to bevegelsene byttet om. På samme måte gir moden ''h''<sub>&times;</sub> tilsvarende utvidelser og sammentrekninger langs to retninger som danner 45&deg; med koordinataksene.

En [[Bølgeligning#Elektromagnetiske bølger|elektromagnetisk bølge]] inneholder energi og vil derfor modifisere geometrien til Minkowski-rommet. Ved bruk av Einsteins feltligning kan også denne metriske perturbasjonen beregnes, men det er vanskelig å tenke seg at effekten noensinne vil la seg observere.