Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

===Eksempel: Hydrogenmolekyl===

Et system med bare to tilstander vil gi en enkel illustrasjon av denne kvantemekaniske formalismen. Hamilton-operatoren er da representert ved en 2&times;2 matrise og systemets tidsutvikling kan lett beregnes. For å være mer konkret, kan man tenke seg et ionisert [[hydrogen]]molekyl. Det har ett elektron som er påvirket av to [[proton]] som man kan tenke seg ligger i ro. I den enkleste beskrivelsen av dette systemet tenker man seg at elektronet kan befinne seg ved det ene eller det andre protonet. Det tilsvarer å innføre ''N'' = 2  basistilstander <math> |1\rangle </math> og <math> |2\rangle . </math> En mer detaljert fremstilling av molekylet ville krevd en enda større basis, men dette minimale valget vil likevel gi nyttig informasjon om dets kvantefysikk.<ref name = RPF-mol>R.P. Feynman, [https://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_10.html ''Other Two-State Systems''], Feynman Lectures at [[Caltech]] (1964).</ref>

Den tidsavhengige Schrödinger-ligningen gir nå de to ordnære differensialligningene

: <math>\begin{align} i\hbar{d\psi_1\over dt} &= H_{11}\psi_1 + H_{12}\psi_2 \\  i\hbar{d\psi_2\over dt} &= H_{21}\psi_1 + H_{22}\psi_2 \end{align} </math>

Da Hamilton-operatoren er hermitisk, må de to elementene {{nowrap|''H''<sub>11</sub> {{=}} ''E''<sub>1</sub>}} og {{nowrap|''H''<sub>22</sub> {{=}} ''E''<sub>2</sub>}}  være reelle. I tillegg må man ut fra symmetrien til systemet ha at de er like store, ''E''<sub>1</sub> = ''E''<sub>2</sub> = ''E''<sub>0</sub>. De ikke-diagonale elementene ''H''<sub>12</sub> og ''H''<sub>21</sub> er av samme grunn komplekst konjugerte av hverandre, men kan velges reelle med den hensiktsmessige verdien -''A&thinsp;'' ved et passende valg av basisvektorer. Hamilton-operatoren for dette systemet blir på denne måten representert ved matrisen

: <math> H =  \begin{pmatrix} E_0 & - A\\ -A & E_0 \end{pmatrix} </math>

hvor både ''E''<sub>0</sub> og ''A&thinsp;'' antas å være positive størrelser. De ikke-diagonale elementene betyr at hvis elektronet befinner seg ved ett proton, har det en viss sannsynlighet for å hoppe over til det andre.<ref name = RPF-mol/>

[[Fil:Two-sites.jpg|left|thumb|600px|Elektronet kan være nær det ene eller det andre protonet i hydrogenmolekylet. Det tilsvarer de to kvantetilstandene <math> |1\rangle </math> og <math> |2\rangle . </math>]]
Egenverdiene til systemet kan nå finnes direkte ved å legge sammen eller ved å trekke de to ligningene fra hverandre. Det gir at {{nowrap|''&psi;''<sub>1</sub> + ''&psi;''<sub>2</sub>}} er amplituden for en egentilstand med energi ''E''<sub>0</sub> - ''A''. Den tilsvarende egenvektorer er <math>  |E_+\rangle = |1\rangle +  |2\rangle. </math> Likedan representerer {{nowrap|''&psi;''<sub>1</sub> - ''&psi;''<sub>2</sub>}}  en egenvektor <math>  |E_-\rangle = |1\rangle -  |2\rangle </math> med egenverdi ''E''<sub>0</sub> + ''A''. De utgjør de to stasjonære tilstandene for systemet. Hvis elektronet starter ut i en av disse tilstandene, vil sannsynligheten for at det forblir i samme tilstand, ikke forandre seg med tiden.

Hvis derimot elektronet i utgangspunktet  ikke befinner seg i en energetisk egentilstand, vil sannsynligheten for å bli værende i denne, variere ettersom tiden går. Det kan man for eksempel se ved å anta at elektronet ved tiden ''t'' = 0 befinner seg i posisjon <math> |1\rangle. </math> Løsning av de to ligningene  gir da

: <math> \psi_1(t) = e^{-iE_0 t/\hbar}\cos At/\hbar , \;\;  \;\;  \psi_2(t) = ie^{-iE_0 t/\hbar}\sin At/\hbar </math>
 
Sannsynligheten for å være ved det ene eller ved det andre protonet vil da variere som <math> P_1 = |\psi_1(t)|^2 = \cos^2\!At/\hbar </math> og <math> P_2 = |\psi_2(t)|^2 = \sin^2\!At/\hbar. </math>  Elektronet vil oscillere mellom de to protonene med en frekvens som er gitt ved det ikke-diagonale elementet ''A''. Systemet er unitært i den forstand at  <math> P_1 + P_2 = 1 </math> og uttrykker bevarelse av sannsynlighet.

Den stasjonære tilstanden <math>  |E_+\rangle </math> representerer en [[Bindingsenergi|bunden]] tilstand da den har lavere energi enn om elektronet sitter bundet til bare én av protonene. Tilstanden er symmetrisk i de to protonene og man kan ikke med sikkerhet si om elektronet er på det ene eller andre av disse. Det befinner seg på et vis mellom dem og holder molekylet sammen. I denne tilstanden er det plass til enda et elektron som gir et  sterkere bundet, nøytralt hydrogenmolekyl. På grunn av [[Paulis eksklusjonsprinsipp]] vil et tredje elektron måtte plasseres i den energetisk høyere tilstanden <math>  |E_-\rangle </math>. Et negativt ladet hydrogenmolekyl vil dermed være ustabilt i overensstemmelse med hva som er kjent fra dets [[kjemi]].<ref name = Atkins>P.W. Atkins, ''Physical Chemistry'', Oxford University Press, Oxford (1988). ISBN 0-19-855186-X.</ref>