Redigerer Kjeglesnitt (avsnitt)

==Kjeglesnitt som kvadratisk form==
[[Fil:Ellipse-HAT.png|thumb|Alternative kartesiske koordinatsystem for en ellipse.]]
En generell kvadratisk ligning i to variable med reelle koeffisienter vil alltid fremstille et kjeglesnitt, degenerert eller ikke-degenerert:

: <math>f(x,y) =  Ax^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 </math>

Funksjonen <math>f(x,y)</math> er en [[kvadratisk form]], et [[polynom]] i to variable av grad to.  Kjeglesnittet er en [[nivåkurve]] og også en ''nullmengde'' for funksjonen.

''Diskriminanten'' til ligningen brukes til å bestemme typen av kjeglesnitt og er definert ved<ref name=THOMAS2/>

:<math>d = B^2 - 4 AC </math> 

Ligningen kan overføres til en av standardformene ved en passende koordinattransformasjon, svarende til en translasjon og en rotasjon. 

=== Ligningen på matriseform ===

Ved hjelp av [[matrise]]r kan ligningen skrives på formen

:<math>
\mathsf{x} \mathsf{M} \mathsf{x}^\operatorname{T} + \mathsf{N} \mathsf{x}^\operatorname{T}  + F = 0
</math>

:<math>
\begin{alignat}{2}
\mathsf{x} &= (x,y) \\ [3pt]
\mathsf{M} &= \left( \begin{matrix}A & B/2 \\B/2 & C\end{matrix} \right) \\  [3pt]
\mathsf{N} &= \left( \begin{matrix}D & E \end{matrix} \right)
\end{alignat}
</math>

Determinanten <math>\Delta_2</math> til matrisen <math>\mathsf{M}</math> er proporsjonal med diskriminanten:

:<math>\Delta_2 = \det \mathsf{M} = AC - \frac{1}{4} B^2 = - \frac{1}{4}d</math> 

Begge disse størrelsene er ''invariante'' under vilkårlige rotasjoner og translasjoner.  Det samme gjelder [[Matrise#En kvadratisk matrises spor|sporet]] til matrisen <math>\mathsf{M}</math>. 
som er lik <math>(A + C)</math>.  

Ved hjelp av en 3<math>\times</math>3-matrise kan ligningen også skrives som

:<math>
\mathsf{x} \mathsf{R} \mathsf{x}^\operatorname{T} = 0
</math>

:<math>
\begin{alignat}{2}
\mathsf{x} &= (x,y,1) \\ [3pt]
\mathsf{R} &= \left( \begin{matrix}A & B/2 & D/2 \\B/2 & C & E/2 \\ D/2 & E/2 & F \end{matrix} \right) \\  [3pt]
\end{alignat}
</math>

Determinanten <math>\Delta_3</math> til matrisen <math>\mathsf{R}</math> er viktig når en skal bestemme typen kjeglesnitt:

:<math>\Delta_3 = \det \mathsf{R} = 
\begin{vmatrix} A & B/2 & D/2\\B/2 & C & E/2\\ D/2 & E/2 & F\end{vmatrix}
</math>

Også denne determinanten er invariant under vilkårlige rotasjoner og translasjoner.

=== Kurveklassifikasjon === 

Typen kjeglesnitt kan bestemmes ved hjelp av diskriminanten <math>d = B^2 - 4AC </math> til andregradsligningen:<ref name=THOMAS2/>

*  En ellipse når <math>d < 0 </math>.
*  En parabel når <math>d = 0</math>.
*  En hyperbel når <math>d > 0</math>.

Siden determinanten til en matrise alltid er lik produktet av [[egenvektor|egenverdiene]], og <math>d = -4 \Delta_2</math>, så kan også fortegnet til egenverdiene til matrisen <math>\mathsf{M}</math>
brukes tilsvarende som diskrimnanten:

*  En ellipse når egenverdiene har samme fortegn.  
*  En parabel når en av egenverdiene er lik null.
*  En hyperbel når egenverdiene har ulike fortegn.  

Kjeglesnittet vil være degenerert når determinanten <math>\Delta_3</math> er lik null.  En fullstendig klassifikasjon er gitt ved følgende skjema:<ref name=LAW1/>

{| class="wikitable"
! Diskriminant <math>d</math>
! Determinant <math>\Delta_3</math>
! 
! 
! Kjeglesnitt
|-
|  <math>d = 0</math>
|| <math>\Delta_3 \ne 0</math>
|| 
|| 
|| Parabel
|-
| 
|| <math>\Delta_3 = 0 </math>
|| <math>C \ne 0</math>
|| <math>E^2 - 4CF > 0</math>
|| To parallelle reelle linjer
|-
| 
||
||
|| <math>E^2 - 4CF = 0</math>
|| To parallelle sammenfallende linjer
|-
| 
||
||
|| <math>E^2 - 4CF < 0</math>
|| To parallelle imaginære linjer
|-
| 
|| 
|| <math>B = C = 0</math>
|| <math>D^2 - 4AF > 0</math>
|| To parallelle reelle linjer
|-
| 
|| 
||
|| <math>D^2 - 4AF = 0</math>
|| To parallelle sammenfallende linjer
|-
| 
|| 
||
|| <math>D^2 - 4AF < 0</math>
|| To parallelle imaginære linjer
|-
| <math>d < 0</math>
|| <math>\Delta_3 \ne 0</math>
||
|| 
|| Ellipse
|-
|
|| <math>\Delta_3 = 0</math>
||
|| 
|| Punkt-ellipse
|-
| <math>d > 0</math>
|| <math>\Delta_3 \ne 0</math>
||
|| 
|| Hyperbel
|-
|
|| <math>\Delta_3 = 0</math>
||
|| 
|| To kryssende linjer
|}

=== Overføring til standardform ===

For ikke-degenerert ellipser og hyperbler, der <math>\Delta_3</math> er ulik null, kan en overføre den generelle ligningen til standardform ved hjelp av egenverdiene til matrisen <math>\mathsf{M}</math>:<ref name=AYOUB1/>

:<math> \frac{x'^2}{-\Delta_3 / (\lambda_1^2\lambda_2)}+\frac{y'^2}{-\Delta_3 / (\lambda_1\lambda_2^2)}=1,</math>

Denne ligningen er ekvivalent med formen

:<math> \frac{x'^2}{-\Delta_3 / (\lambda_1 \Delta_2)}+\frac{y'^2}{-\Delta_3 / (\lambda_2\Delta_2)}=1,</math>

De to egenverdiene er <math>\lambda_1</math> og <math>\lambda_2</math>.  Ligningen fremstiller en ellipse når de to egenverdiene har samme fortegn og en hyperbel ellers.  

=== Eksentrisitet ===

For en parabel er eksentrisiteten <math>e</math> lik 1.  For en ellipse og en hyperbel kan eksentrisiteten uttrykkes ved koeffisientene:<ref name=AYOUB2/>

:<math>e=\sqrt{\frac{2\sqrt{(A-C)^2 + B^2}}{\eta (A+C) + \sqrt{(A-C)^2 + B^2}}},</math>

Her er koeffisienten <math>\eta</math> lik 1 dersom determinanten <math>\Delta_3</math> er negativ og lik -1 når determinanten er positiv.

===Hovedakser og sentrum===

For en vilkårlig ikke-degenerert ellipse eller hyperbel kan en uttrykke hovedakser og sentrum ved hjelp av ligningskoeffisientene.  Senteret har koordinater gitt ved{{tr}}

:<math> x_{c} = -\frac{1}{\Delta_2} \begin{vmatrix} D & B \\E & C \end{vmatrix}, \;\;\; 
               y_{c} = -\frac{1}{\Delta_2} \begin{vmatrix} A & D \\B & E \end{vmatrix} </math>

Vinkelen mellom den store aksen og den positive <math>x</math>-aksen er gitt ved{{tr}}:

:<math> \tan 2\phi = \frac{2B}{A - C}. </math>

Overføringen til standardform utført i foregående avsnitt viser også at halvaksene er gitt ved

:<math> a^{2} = -\frac{\Delta_3}{\lambda_{1}\Delta_2}, \;\;\;  b^{2} = -\frac{\Delta_3}{\lambda_{2}\Delta_2} </math>

===Tangentlinjer===

Ligningen for en [[tangent (matematikk)|tangentlinje]] til en nivåkurve for funksjonen <math>f(x,y)</math> i punktet <math>{\bf x} = (x_0,y_0)</math> er generelt gitt ved<ref name=APOSTOL/>

:<math>f_x({\bf x})(x - x_0) + f_y({\bf x})(y - y_0) = 0 </math>

Her er <math>f_x</math> og <math>f_y</math> [[Derivasjon#Partiell derivasjon|partiell deriverte]] med hensyn på henholdsvis <math>x</math> og <math>y</math>.  For et kjeglesnitt på formen <math> Ax^2 +2Bxy +Cy^2 + 2Dx +2Ey + F = 0 </math> gir dette tangentligningen

:<math>  Axx_0 + B(x_0y + xy_0) + Cyy_0 + D(x + x_0) + E(y + y_0) + F = 0. </math>

Tangentligningen knyttet til standardformen for ellipser og hyperbler med origo i sentrum er dermed

:<math>\frac{xx_0}{a^2} \pm \frac{yy_0}{b^2} = 0</math>

For en parabel på standardformen med sentrum i toppunktet er tangentligningen

:<math>y_0y - 2ax - {y_0}^2 + 2ax_0 = 0</math>