Redigerer Matrise (avsnitt)

== Teori for kvadratiske matriser ==

=== Determinanter ===
: ''Utdypende artikkel:'' [[Determinant]]

For en reell, kvadratisk matrise er determinanten et reelt tall, entydig bestemt av elementene i matrisen.  Tilsvarende er determinanten til en kompleks matrise
et komplekst tall. Presist kan en si at determinanten er en [[Funksjon (matematikk)|funksjon]] med [[definisjonsmengde]] lik mengden av reelle/komplekse, kvadratiske matriser og 
med [[verdimengde]] lik mengden av reelle/komplekse tall.

Dersom en uttrykker en matrise som en samling av rekker, <math>A_{nn} = (A_1, A_2, \dots, A_n)</math>, så kan en definere determinanten
som en funksjon <math>f</math> med de følgende egenskapene:<ref name=AP74>[[#AP|T.M. Apostol: ''Calculus '', Bind II ]] s.74 </ref>

* Funksjonen er homogen i hver rekke, det vil si at <math>f(\dots, tA_k, \dots A_n) = t f(\dots, tA_k, \dots )</math>.

* Funksjonen er additiv i hver rekke, det vil si at <math>f(\dots, A_k + C, \dots A_n) = f(\dots, A_k, \dots ) + f(\dots, C, \dots ) </math>.

* Funksjonen er lik null dersom to rekker er like.

* Funksjonen er lik 1 for identitetsmatrisen.

Determinanten til matrisen <math>A</math> betegnes som regel <math>\det A</math> eller <math>\det(A)</math>. Notasjonen <math>|A|</math> brukes også, 
men det er lett å forveksle dette symbolet med [[absoluttverdi]]en av matrisen. For absoluttverdien av en matrise brukes både <math>|A|</math> og <math>|A|_{abs}</math>.
Ønsker en å presisere elementene i matrisen, skrives determinanten vanligvis ved å omgi elementene med loddrette streker:

: <math> \text{det} A=
  \begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nm}
  \end{vmatrix}
</math>

[[Leibniz' formel for determinanter|Leibniz' formel]] uttrykket determinanten som en sum av ''n'' produkt.{{tr}}
Hvert produkt inneholder ''n'' faktorer, der hver faktor er et matrise-element. I hvert produkt er hver rekke og hver søyle i matrisen 
representert med ett og kun ett element. For en (2×2)-matrise er determinanten gitt ved formelen

:<math>\det \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} </math> .

Determinanter kan også beregnes ved hjelp av [[Laplace-ekspansjon]].<ref name=RDM79>[[#RDM| R. D. Milne: ''Applied functional analysis...'']] s.79 </ref>

Determinanten kan brukes til å karakterisere egenskaper til matrisen og til den lineære transformasjonen som matrisen representerer.
For eksempel vil en kvadratisk matrise med en determinant ulik null, ha definert en invers.  Determinanten til en ortogonal matrise har alltid
absoluttverdi lik 1.  

=== Matrisespor ===
Sporet til en kvadratisk matrise <math>A</math> skrives <math>\operatorname{tr} A</math> og er lik summen av elementene på diagonalen:<ref name=HL4/>

: <math>\operatorname{tr} A = \sum_{i=1}^n a_{ii} \, </math>

Notasjonen er avledet av det engelske begrepet «trace», som betyr spor.

Sporet er også lik summen av egenverdiene.  En rekke generelle relasjoner gjelder for matrisespor:<ref name=HL41>[[#HL| H. Lütkepohl: ''Handbook of matrices'']] s.41 </ref>

:<math>
\begin{alignat}{2}
 \operatorname{tr} A &= \operatorname{tr} A^T \\
 \operatorname{tr} (A_{nm}B_{mn}) &=  \operatorname{tr} (B_{mn}A_{nm})
\end{alignat}
</math>

=== Egenverdier og egenvektorer ===
: ''Utdypende artikkel:'' [[Egenvektor]]
Egenverdiene til en kvadratisk matrise er definert som [[rot til en ligning | nullpunktene]] til det karakteristiske polynomet, definert ved

: <math>p_A(\lambda) = \text{det}( \lambda I - A ) \, </math>.

Her er <math>I</math> enhetsmatrisen med samme dimensjon ''n'' som <math>A</math>. [[Polynom]]et i <math>\lambda</math> har grad ''n'', og tar en [[rot til en ligning | multiplisiteten]] med i betraktning vil matrisen ha ''n'' egenverdier.

Alternativt kan en definere en egenverdi som et tall <math>\lambda</math> som gjør at ligningen

: <math>Av = \lambda v  \, </math>.

har en løsning ulik nullvektoren. Løsningsvektoren <math>v</math> kalles en [[egenvektor]] til <math>A</math>.  

Ifølge Caley-Hamiltons teorem tilfredsstiller matrisen <math>A</math> sitt eget karakteristiske polynom, det vil si

: <math>p_A(A) = 0  \, </math>,

der høyre side nå er nullmatrisen.