Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

===Stasjonære tilstander og energibasis===

En stasjonær tilstand med energi ''E&thinsp;'' er definert å ha den enkle tidsavhengigheten

: <math> |E,t\rangle = |E \rangle e^{-iEt/\hbar} </math>

hvor tilstanden <math>  |E \rangle </math> må være en egentilstand av Hamilton-operatoren <math> \hat{H} . </math>  For et vilkårlig sett av ''N&thinsp;'' ortonormerte basisvektorer kan den da skrives som

: <math>  |E \rangle  = \sum_{n=1}^N u_n |n\rangle </math>

hvor <math> u_n =  \langle n|E\rangle </math> nå er sannsynlighhetsamplituden for å finne systemet <math> |E \rangle </math> I tilstand <math> |n\rangle .</math> Egenverdiligningen <math> \hat{H}  |E \rangle = E  |E \rangle </math> i denne basisen tar dermed formen

: <math> \sum_{n=1}^N H_{mn} u_n = E u_m </math>

hvor tallene <math>  H_{mn} = \langle m|\hat{H}|n \rangle </math> er matriseelementene av Hamilton-operatoren. Disse ligningene for de ukjente sannsynlighhetsamplitudene utgjør nå et [[lineært ligningssett]] som kun har løsninger for bestemte verdier av ''E''. De er dermed [[egenverdi]]er ''E<sub>n</sub>&thinsp;'' til Hamilton-operatoren og kan finnes ved å [[Egenverdi#Diagonalisering|diagonalisere]] den  tilsvarende ''N'' &times; ''N'' dimensjonell matrisen.<ref name = RPF-QM/>

Tidsutviklingen til en vilkårlig tilstand <math>  |\Psi\rangle </math> følger fra den tidsavhengige Schrödinger-ligningen. Sannsynligheten for at denne tilstanden skal befinne seg i basistilstanden <math> |m \rangle </math> ved tiden ''t&thinsp;'' er gitt ved amplituden  <math>  \psi_m(t) = \langle m |\Psi, t \rangle .</math>  Dennes forandring med tiden følger derfor fra

: <math>  i\hbar{\partial\over\partial t} \langle m|\Psi,t\rangle = \langle m |\hat{H} |\Psi,t\rangle  </math>

Ved her å sette inn enhetsoperatoren <math> \hat{I} = \sum_n |n\rangle\langle n |, </math> tar denne ligningen formen

: <math> i\hbar {d\psi_m\over dt} = \sum_{n=1}^N H_{mn}\psi_n(t) </math>

som utgjør et sett av ''N&thinsp;'' lineære differensialligninger av første orden.<ref name = RPF-QM/> De kan nå formelt løses ved å første uttrykke tilstanden <math>  |\Psi\rangle </math> i energibasisen <math> |E_n\rangle </math> som egenvektorene  til Hamilton-operatoren danner. Det gir
 
: <math> |\Psi\rangle =   \sum_{n=1}^N C_n |E_n\rangle </math>

hvor koeffisientene ''C<sub>n</sub>'' spesifiserer tilstanden. Den har nå en tidsutvikling

: <math> |\Psi, t \rangle =  e^{-i\hat{H}t/\hbar} |\Psi\rangle =  \sum_{n=1}^N C_n e^{-iE_nt/\hbar} |E_n\rangle </math>

Dermed kan den generelle løsningen av den tidsavhengige Schrödinger-ligningen skrives som

: <math> \psi_m(t) = \langle m |\Psi, t \rangle = \sum_{n=1}^N C_n e^{-iE_nt/\hbar} \langle m|E_n\rangle </math>

og inneholder eksplisitt egenverdiene til Hamilton-operatoren. I tillegg avhenger den  av sannsynlighetsamplitudene <math> \langle m|E_n\rangle </math> som er ''m''-komponentene til de tilsvarende egenvektorene.

I Heisenbergs første arbeid om matrisemekanikk benyttet han en slik energibasis hvor Hamilton-operatoren var representert ved en diagonal matrise.<ref name = MIT/>