Redigerer Pytagoras’ læresetning (avsnitt)

=== Indreproduktrom ===

Pytagoras’ sats kan generaliseres til et vilkårlig [[indreprodukt]]rom, som igjen er en generalisering av det euklidske rommet i to og tre dimensjoner.<ref name=MILNE>{{Kilde bok| forfatter= Ronald Douglas Milne| utgivelsesår=1980| tittel=Applied functional analysis, an introductory treatment| utgivelsessted= London| forlag= Pitman Publishing Limited| isbn=0-273-08404-6 }}</ref>  
Et indreproduktrom kan ha både endelig og uendelig dimensjon.  Elementene i et indreproduktrom, [[vektor]]ene, kan for eksempel være [[funksjon (matematikk)|funksjoner]]. 
I et indreproduktrom kan en definere lengden av elementer, avstanden mellom to elementer og også vinkelen mellom to elementer.  

Indreproduktet mellom to elementer <math>\mathbf{u}</math> og <math>\mathbf{v}</math> kan betegnes som <math>\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle</math>, og dette generaliserer det vanlige skalarproduktet mellom to endelig-dimensjonale vektorer.
To vektorer står [[ortogonalitet|ortogonalt]] på hverandre dersom indreproduktet mellom dem er lik null.  Lengden av en vektor er definert ved [[norm (matematikk)|normen]]:

:<math>\| \mathbf{u} \| = \sqrt{\langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle} \, .</math>

I et indreproduktrom sier Pytagoras’ teorem at for to ortogonale vektorer <math>\mathbf{u}</math> og <math>\mathbf{v}</math> gjelder at 

:<math>\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 \ .</math>

Vektorene <math>\mathbf{u}</math> og <math>\mathbf{v}</math> spiller samme rolle som katetene i en rettvinklet trekant, med hypotenusen gitt som vektorsummen <math>\mathbf{u} + \mathbf{v}</math>.
Teoremet følger av egenskaper til indreproduktet:

:<math>\left\| \mathbf{u} + \mathbf{v} \right\|^2 =\langle \mathbf{ u+v},\ \mathbf{ u+v}\rangle = \langle \mathbf{u},\ \mathbf{ u}\rangle +\langle \mathbf{v},\ \mathbf{v}\rangle +\langle\mathbf{ u,\ v }\rangle + \langle\mathbf{ v,\ u }\rangle \ = \left\| \mathbf{u}\right\|^2 + \left\| \mathbf{v}\right\|^2 . </math>

Ligningen kan generaliseres til et vilkårlig endelig antall parvis ortogonale vektorer:

:<math>\left\|\,\sum_{k=1}^{n}\mathbf{u}_k\,\right\|^2 = \sum_{k=1}^n \|\mathbf{u}_k\|^2.</math>

Også parallellogramloven kan generaliseres til et vilkårlig indreproduktrom, da med formen

::<math>2\|\mathbf{u}\|^2 +2 \|\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf {u + v} \|^2 +\| \mathbf{u-v}\|^2 \ . </math>