Redigerer Projektivt plan (avsnitt)

== Andre projektive plan ==
Det reelle, projektive planet '''RP'''<sup>2</sup> har homogene koordinater {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>)}} som tilhører den reelle [[kropp (matematikk)|tallkroppen]] '''R'''. Andre projektive plan '''KP'''<sup>2</sup> kan defineres på samme måte ved å la de homogene koordinatene tilhøre en annen [[kropp (matematikk)|tallkropp]] '''K'''. Det enkleste eksemplet er det komplekse, projektive planet '''CP'''<sup>2</sup> basert på tallkroppen '''C''' bestående av komplekse tall ''z'' = ''x'' + ''iy''. Her er ''x'' og ''y'' reelle tall og {{nowrap|''i'' {{=}} &radic;-1}} er [[imaginær enhet|den imaginære enhet]]. Dette planet har to komplekse dimensjoner som tilsvarer fire vanlige dimensjoner. I tillegg til sine geometriske egenskaper, er det også av interesse innen [[teoretisk fysikk]] hvor det kan benyttes til å konstruere forskjellige [[kvantefeltteori]]er.

=== Endelige plan ===
Et endelig, projektivt plan '''FP'''<sup>2</sup> er basert på en [[endelig kropp|endelig tallkropp]], også kalt en Galois-kropp. Inneholder denne ''n'' elementer, betegnes den som '''F'''<sub>''n''</sub>, mens det tilsvarende projektive planet kalles ofte PG(2,''n''). Tallet ''n'' sies å være planets '''orden'''. De homogene koordinatene {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>)}} kan da bare ta et visst antall forskjellige verdier slik at dette planet inneholder bare et endelig antall punkter og et like stort antall linjer. Planet sies derfor å være endelig.

Gjennom hvert punkt vil det gå et visst antall linjer som er like stort som antall punkt på hver linje. Hver linje vil som i alle projektive plan, skjære hverandre i kun et punkt. Selv om antall punkt på hver linje er endelig, tegnes de ofte likevel som kontinuerlige streker. Mer abstrakt kan man angi en linje med de punktene den inneholder.

Planets orden ''n'' bestemmer hvor mange punkt og linjer det finnes i planet. Dette antallet kan finnes ved å beregne antall endelige punkt pluss antall punkt på linjen i det uendelige. De ideelle punktene på denne linjen har koordinater av formen {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,0)}}. Siden disse er homogene, kan man skalere den andre koordinaten slik at den blir lik 1. Antall punkt med koordinater av formen {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>,1,0)}} er nå ''n'' tilsvarende antall verdier ''x''<sub>1</sub>&thinsp; kan ta. I tillegg kommer tilfellet at {{nowrap|''x''<sub>2</sub> {{=}} 0&thinsp;}} som tilsvarer det ene punktet {{nowrap|(1,0,0)}}. I alt er det derfor {{nowrap|''n'' + 1&thinsp;}} punkter på denne linjen. Og da denne er ekvivalent med alle andre linjer, vil alle inneholde et slikt antall punkter. Dualitet sier nå at {{nowrap|''n'' + 1&thinsp;}} vil også være antall linjer gjennom hvert punkt.

De endelige punktene i planet har koordinater av formen {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,1)}}. Her kan både ''x''<sub>1</sub>&thinsp; og ''x''<sub>2</sub>&thinsp; fritt ta ''n&thinsp;'' verdier slik at det er i alt ''n''<sup>&thinsp;2</sup>&thinsp; slike endelige punkt. Da disse punktene utgjør et [[affin geometri#Endelige geometrier|affint plan]], er dette det totale antall punkter i det affine planet basert på denne tallkroppen. Men det projektive planet inneholder i tillegg  {{nowrap|''n'' + 1&thinsp;}} punkter i det uendelige som gir til sammen ''n''<sup>&thinsp;2</sup> + ''n'' + 1. Dualitet sier at dette også er antall linjer i dette planet.

Når ''n'' = 1, inneholder planet bare tre punkter. Dette er ikke nok til å gi et fullt, projektivt plan som oppfyller de tre aksiomene. Derfor må {{nowrap|''n'' &ge; 2.}} Teorien for [[endelig kropp|endelige Galois-kropper]] sier at {{nowrap|''n'' {{=}} ''p''<sup>''k''</sup>&thinsp;}} hvor ''p'' er et [[primtall]] og ''k'' et positivt heltall. Man kan derfor konstruere slike endelige plan for {{nowrap|''n'' {{=}} 2,3,4,5,7,8,9,11,13}} og så videre. Matematikere har lagt ned store anstrengelser i å forstå hvorfor projektive plan av orden {{nowrap|''n'' {{=}} 6}} og {{nowrap|''n'' {{=}} 10}} ikke kan konstrueres.

=== Eksempel: Syvpunktsplanet ===
[[Fil:Fano Plane.jpg|thumb|320px|Syvpunktsplanet med syv punkt og syv linjer.]]
Det minste, ikke-trivielle projektive planet er av orden {{nowrap|''n'' {{=}} 2&thinsp;}} basert på Galois-kroppen '''F'''<sub>2</sub>. Den er identisk med de [[binært tall|binære tallene]] (0,1) under addisjon og multiplikasjon. Dette endelige planet inneholder syv punkter med homogene koordinater (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) og (1,1,1). Tilsvarende kan koordinatene for de syv linjene angis. Vanligvis omtales som «syvpunktsplanet» eller «Fano-planet» etter den italienske matematiker Gini Fano som systematiske undersøkte slike endelige plan. Det opptrer i teorien for [[oktonion]]er.

Planet er illustrert i figuren til høyre. De syv punktene er angitt som ''A'', ''B'', ''C'', ''D'', ''E'', ''F'' og ''G''. Tilsvarende er de syv linjene angitt som ''l'', ''m'', ''n'', ''p'', ''q'', ''r'' og ''s''. Hver linje inneholder tre punkter, mens tre linjer går gjennom hvert av punktene. Strekene mellom punktene på samme linje er bare trukket som illustrasjon. Det har ingen betydning om disse er trukket som rette eller krumme linjer.

Man kan velge å betrakte linjen ''s'' som linjen i det uendelige med tre ideelle punkt ''B'', ''D'' og ''F''. Fjernes disse, står man igjen med fire endelige punkt og seks linjer som forbinder dem. Dette er [[affin geometri#Endelige geometrier|det affine planet]] av orden {{nowrap|''n'' {{=}} 2.}} Det tilsvarer punkter og linjer som utgjør et [[tetraeder]].