Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

===Tidsutvikling og Heisenberg-bilde===

For et stasjonært system er Hamilton-operatoren uavhengig av tiden. Den tidsavhengige Schrödinger-ligningen kan da integreres direkte til å gi tilstandsvektoren ved et senere tidspunkt. Resultatet kan skrives som <math>  |\Psi,t\rangle = \hat{U}(t)  |\Psi, 0\rangle </math> hvor

:  <math>  \hat{U}(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar}  </math>

er «tidsutviklingsoperatoren». Mens denne bringer systemet fremover i tid, vil den inverse operatoren

:  <math>  \hat{U}^{-1}(t) =  \hat{U}(-t) = e^{i\hat{H}t/\hbar}  </math>

bringe det bakover i tid. Da Hamilton-operatoren er hermitisk, vil dette også være lik med den adjungerte operatoren <math> \hat{U}^\dagger(t).  </math> Det betyr at  den oppfyller <math>  \hat{U}^\dagger  \hat{U} = \hat{U}   \hat{U}^\dagger  = \hat{I}.  </math> En slik operator sies å være '''unitær'''. For tidsutviklingsoperatoren betyr det rent fysisk at systemet vil forbli i en eller annen kvantetilstand i det samme Hilbert-rommet.<ref name = Merzbacher>E. Merzbacher, ''Quantum Mechanics'', John Wiley & Sons, New York (1961).</ref>

Hvis man betrakter et veldig kort tidsrom ''&tau;&thinsp;'', så vil ikke systemet forandres så mye. Tidsutviklingsoperatoren kan da skrives som

: <math> \hat{U}(\tau) = \hat{I} - {i\over\hbar}\hat{H}\tau + \cdots </math>

Fra denne sammenhengen ser man at Hamilton-operatoren får systemet til å forandre seg i korte øyeblikk eller at den er en '''generator''' for slike forandringer. En endelig forandring over en tid ''t'' = ''n&tau;&thinsp;'' kan så bygges opp av ''n&thinsp;'' små transformasjoner etterfulgt av hverandre eller <math>  \hat{U}(t)  = \hat{U}(\tau) \hat{U}(\tau) \cdots \hat{U}(\tau). </math> I grensen hvor ''&tau;&thinsp;'' blir tilstrekkelig liten har man da

: <math>   \hat{U}(t)  = \left(\hat{I} - {i\over\hbar}\hat{H}{t\over n}\right)^n = e^{-i\hat{H}t/\hbar} </math>

ut fra definisjonen av [[eksponentialfunksjon]]en i grensen der ''n&thinsp;'' blir veldig stor.

Denne fremstilling av tidsutviklingen er gjort i det som kalles «Schrödinger-bildet». Den skyldes at tilstandsvektoren for systemet varierer med tiden. Forventningsverdien av en operator

: <math> \langle\hat{A}\rangle(t)  = \langle \Psi,t| \hat{A} |\Psi,t\rangle = \langle\Psi,0|  e^{i\hat{H}t/\hbar} \hat{A}\,  e^{-i\hat{H}t/\hbar} |\Psi,0 \rangle </math>

vil dermed også variere med tiden. Formen til dette uttrykket kan også beskrives som om tilstanden til systemet ikke forandrer seg, men at det er operatoren som blir tidsavhengige. Man sier da at man har en fremstilling i «Heisenberg-bildet» hvor tilstandsvektoren er konstant <math>|\Psi\rangle_H = |\Psi,0 \rangle ,</math> og operatorene varierer med tiden som

: <math> \hat{A}_H(t) = e^{i\hat{H}t/\hbar} \hat{A}\,  e^{-i\hat{H}t/\hbar} </math>

Den samme forventningsverdien kan derfor skrives alternativt som <math> \langle\hat{A}\rangle(t) =  \;_H\langle\Psi| \hat{A}_H(t)|\Psi \rangle_H .</math>

Ved derivasjon finnes den differensielle formen

: <math>\begin{align} i\hbar {d\over dt}\hat{A}_H(t)  &= - e^{i\hat{H}t/\hbar} \hat{H}\hat{A}  e^{-i\hat{H}t/\hbar} + e^{i\hat{H}t/\hbar} \hat{A}\hat{H}  e^{-i\hat{H}t/\hbar} \\ &= [\hat{A}_H(t), \hat{H}] \end{align} </math>

for tidsutvikling av en operator i Heisenberg-bildet. Det er den samme loven som Heisenberg kom frem til i sitt arbeid som grunnla [[Matrisemekanikk#Kvantedynamikk|matrisemekanikken]].<ref name = Merzbacher/>