Redigerer Elektrisk effekt (avsnitt)

===Effekt i trefasekretser===
{{Hoved|Trefase}}

For å få en forståelse av effektutvikling i trefasekretser er det nødvendig med en beskrivelse av begreper og konsepter innenfor denne delen av elektroteknikken.

====Strøm og spenning i trefaskretser====
[[Fil:3 phase AC waveform.svg|thumb|De tre sinus{{shy}}kurvene som danner trefase veksel{{shy}}spenning eller strøm. Langs x-aksen er det angitt grad{{shy}}tallet, men dette kunne også vært tiden. I et kraft{{shy}}system med 50 Hz vil hver av kurvene gjennom{{shy}}løpe én hele periode i løpet av 20 ms. 360° tilsvarer da tiden 20 ms. Langs y-aksen vil en ha spenning eller strøm.]]

Trefasesystemet har vært praktisk talt enerådende etter at det ble introdusert ved [[den internasjonale elektrotekniske utstillingen i 1891]] i Frankfurt am Main i Tyskland.<ref name=MD2>{{Kilde www | forfatter=Martin Doppelbauer | url= http://www.eti.kit.edu/english/1376.php |tittel= The invention of the electric motor 1800-1854 – A short history of electric motors - Part 2 | besøksdato= 11. januar 2015 | verk= |utgiver=Karlsruher Instituts für Technologie (KIT) | arkiv_url= |arkivdato= |sitat= }}</ref><ref>{{Kilde www | forfatter= | tittel=Laufen to Frankfurt 1891 | url=http://www.edisontechcenter.org/LauffenFrankfurt.html | besøksdato= 14. januar 2015 | verk= |utgiver=Edison Tech Center | arkiv_url= |arkivdato=2013 |sitat= }}</ref> Det er flere grunner til det, noen av de viktigste årsakene er at:
* en trefaset motor eller generator vil ha mindre volum og vekt enn en tilsvarende maskin for enfasestrøm,
* for å overføre denne samme effektmengden i en kraftlinje vil det kreves mindre samlet ledertverrsnitt for trefase- enn for enfasestrøm,
* at trefasesystemet gir et roterende magnetfelt i motorer noe som gjør at de blant annet blir ''selvstartende''.

Spesielle tiltak gjøres for å få enkelte motortyper for enfase til å starte å rotere når de tilkobles spenning.<ref>{{Kilde www | forfatter=Vipin Kumar | tittel=Advantages of Three Phase System over Single Phase System | url=http://www.electrical4u.com/advantages-of-three-phase-system-over-single-phase-system/ | besøksdato= 28. september 2015| verk= | utgiver=electrical4u | arkiv_url= |arkivdato=2013 |sitat= }}</ref><ref>{{Kilde www | forfatter=Dharma Teja | tittel=Advantages of 3 Phase System Compared to Single Phase System | url=http://electricalquestionsguide.blogspot.no/2012/09/advantages-of-3-phase-system-compared.html | besøksdato= 28. september 2015 | verk= | utgiver=Electrical Interview Questions & Answers | arkiv_url= |arkivdato=29. september 2012 | sitat= }}</ref>

I et trefasesystem er det tre faseledere istedenfor to som i enfasesystem behandlet over. Disse lederne må tilknyttes generatorer spesielt for trefasestrøm, som en kan tenke seg som tre spenningskilder som hver gir ut vekselspenning med samme størrelse, altså lik frekvens og amplitude.{{tr}} Imidlertid er de tre fasespenningene faseforskjøvet med nøyaktig 120°, eller <math>2 \pi / 3</math> radianer. Ideell ''syklisk symmetrisk'' sinusformet trefase spenning eller strøm er vist i figuren øverst til høyre. Generelt beskrives de tre spenningene av følgende trigonometriske funksjoner:

:<math>u_{L1}=\hat u_{L1} \cos(\omega t )</math>
:<math>u_{L2}=\hat u_{L2} \cos(\omega t - \frac{2 \pi}{3})</math>
:<math>u_{L3}=\hat u_{L3} \cos(\omega t + \frac{2 \pi}{3})</math>

Der symbolene er de samme som tidligere, og ''L1'', ''L2'' og ''L3'' tilsvarer fasene henholdsvis 1, 2 og 3 i figuren. Det er for øvrig vanlig å betrakte spenningene som såkalte ''[[fasevektorer]]'', men dette konseptet blir ikke omtalt her. At de tre fasene er forskjøvet med 120° vil også si at det er en tidsforskyvning av det tre sinuskurvene. Om frekvensen er {{nowrap|50 Hz}} vil faseforskyvningen være {{nowrap|6,667 ms}} mellom hver av spenningene eller strømmene. Også strømmen som går i et trefasesystem vil være symmetrisk og beskrives av de samme formlene som over, forutsatt at belastningen er symmetrisk.

[[Fil:3 Phase Power Connected to Wye Load.svg|thumb|En trefaset generator koblet i stjerne (venstre) og en last også koblet i stjerne.]]
[[Fil:3 Phase Power Connected to Delta Load.svg|thumb|En trefaset generator koblet i stjerne (venstre) og en last koblet i trekant.]]

Figuren til høyre viser et prinsipielt trefasesystem med tre spenningskilder ''V<sub>1</sub>'', ''V<sub>2</sub>'' og ''V<sub>3</sub>'' til venstre i figuren og tre belastninger ''Z<sub>y</sub>'' til høyre. Belastning kan være kombinasjoner av resistorer, spoler og kondensatorer, og det forutsettes at disse er like. Denne sammenkoblingen av spenningskildene og de tre belastningene kalles for ''stjernekobling''. Med stjernekobling er det et fellespunkt for spenningskildene og belastningene som kalles ''nøytralpunkt''. Nøytralpunktet kjennetegnes med at spenningen er null. I figuren nederst til høyre er det vist det samme skjemaet, men her er lastene satt sammen på en måte som kalles ''trekantkobling''. Dermed er impedansene for belastningen merket ''Z<sub>∆</sub>''{{tr}}

Med de tre belastningene i stjernekobling vil strømmen inn til hver av impedansene være den samme som strømmen som går i faselederen hver av dem er tilknyttet. Derimot vil strømmen inn til lastene med trekantkobling ikke lenger være den samme. Forholdet mellom strøm i faselederne og i hver av impedansene er gitt av denne sammenhengen:

:<math> I_1 = \sqrt{3} I_{12}, </math>
:<math> I_2 = \sqrt{3} I_{23}, </math>
:<math> I_3 = \sqrt{3} I_{31}, </math>

Der en kaller <math>I_1</math>, <math>I_2</math> og <math>I_3</math> for linjestrømmer, og <math>I_{12}</math>, <math>I_{23}</math> og <math>I_{31}</math> for fasestrømmer.

For øvrig er det også vanlig å benevne fasestrømmene med bokstaven <math>\phi</math>, slik at fasestrømmene over kun benevnes <math>I_\phi</math>.<ref name=EC412>[[#EC|James W. Nilsson: ''Electric Circuits'' side 412.]]</ref>

[[Fil:Dreiphasendrehstrom mit Strangspannungen.PNG|thumb|De tre linje{{shy}}spenningene og fase{{shy}}spenningene i et kraft{{shy}}system med {{nowrap|400 V}}. Amplituden for linje{{shy}}spenningene er <math>\sqrt{2}</math> ganger større enn linje{{shy}}spenningen, altså {{nowrap|565 V}}. Det samme gjelder fase{{shy}}spenningenes amplitude{{shy}}verdi på {{nowrap|325 V}}. Fase{{shy}}spenningene er <math>\sqrt{3}</math> mindre enn linje{{shy}}spenningene, mens det er en fase{{shy}}forskyvning mellom dem på 30°.]]

For spenningene i stjernekoblingen i figuren øverst er størrelsen for linjespenninger og fasespenninger forskjellige. Linjespenningene defineres som spenningen mellom hver av de tre faselederne, mens fasespenningene er spenningene mellom hver av faselederne og nøytralpunktene. Linjespenningene ble over kalt ''U<sub>L1</sub>, U<sub>L2</sub>'' og ''U<sub>L3</sub>'', men fra nå av kalles diss ''U<sub>12</sub>, U<sub>23</sub> og U<sub>31</sub>''. Fasespenningene kalles ''U<sub>1n</sub>, U<sub>2n</sub> og U<sub>3n</sub>''. Forholdet mellom linje- og fasespenninger er:

:<math> U_{12}= \sqrt{3} U_{1n}, </math>
:<math> U_{23} = \sqrt{3} U_{2n}, </math>
:<math> U_{31} = \sqrt{3} U_{3n}, </math>

Det betyr altså at linjespenningene er <math>\scriptstyle \sqrt{3} \approx 1,73</math> større enn fasespenningene.

For øvrig er det vanlig i litteraturen å benevne fasespenning som <math>U_{\phi}</math>, og andre faseverdier som impedans <math>Z_{\phi}</math>, effekt <math>P_{\phi}</math> og reaktiv effekt <math>Q_{\phi}</math> når sammenhenger i trefasesystemet skal utledes matematisk.<ref name=EC412/>

====Middelverdien av effekt i trefasekretser====
For impedans 1, altså den som tilføres strømmen I<sub>1</sub> i de stjernekoblede lastene Z<sub>y</sub> i figuren over er utviklet middeleffekt uttrykt ved effektivverdiene (rms) av spenning og strøm:

:<math> P_1 = U_{1n}I_{1} \cos ( \theta_{u1}-\theta_{i1}), </math>

der ''θ<sub>u1</sub>'' og ''θ<sub>i1</sub>'' er fasevinklene til henholdsvis spenning og strøm. Videre uttrykkes effekten for de to andre belastningene med samme notasjon for fasevinklene:

:<math> P_2 = U_{2n}I_{2} \cos ( \theta_{u2}-\theta_{i2}), </math>

:<math> P_3 = U_{2n}I_{2} \cos ( \theta_{u3}-\theta_{i3}), </math>

I en syklisk symmetrisk trefasekrets med like stor impedans for hver av lastene vil alle fasespenningene og strømmene være like, altså gjelder:<ref name=EC425>[[#EC|James W. Nilsson: ''Electric Circuits'' side 425.]]</ref>

:<math>U_{\phi} = U_{1n} = U_{2n} = U_{3n}, </math>

:<math>I_{\phi} = I_{1n} = I_{2n} = I_{3n}, </math>

og dessuten:

:<math>\theta_{\phi} = \theta_{u1}-\theta_{i1} = \theta_{u2}-\theta_{i2} = \theta_{u3}-\theta_{i3} </math>

Middelverdien av effekt per fase må i dette syklisk symmetriske og balanserte trefasesystemet være identiske, altså:

:<math> P_{\phi} = P_1 = P_2 = P_3 = U_{\phi} I_{\phi} \cos \theta_{\phi} </math>

Den totale middelverdien av effekten for alle lastene blir dermed:

:<math> P_T = 3 P_{\phi} = 3 U_{\phi} I_{\phi} \cos \theta_{\phi} </math>

Det vil også være ønskelig å uttrykke den totale middelverdien av effekten som effektivverdien av linjespenning og linjestrøm. Siden alle linjespenningene i absoluttverdi er like kan en kalle linjepenningene for ''U'' og tilsvarende linjestrømmene for ''I'', dermed kan uttrykket over omformes slik:

:<math> P_T = 3 \left ( \frac{U}{\sqrt{3}} \right ) I \cos \theta_{\phi} = \sqrt{3}UI \cos \theta_{\phi}</math>

På samme måte gjelder det for reaktiv effekt at effektivverdi av effekt i én av lastene er:

:<math> Q_{\phi} = U_{\phi} I_{\phi} \sin \theta_{\phi}, </math>

og for den totale reaktive effekten uttrykt med linjespenning og -strøm:

:<math> Q_T = 3 Q_{\phi} = \sqrt{3}UI \sin \theta_{\phi}</math>

Dessuten gjelder for tilsynelatende effekten at:

:<math> S_T = 3 S_{\phi} = \sqrt{3}UI</math>

For en trekantkoblet last gjelder på samme måte at effekten i hver av impedansene kan uttrykkes:

:<math> P_1 = U_{12}I_{12} \cos ( \theta_{u12}-\theta_{i12}), </math>

:<math> P_2 = U_{23}I_{23} \cos ( \theta_{u23}-\theta_{i23}), </math>

:<math> P_3 = U_{31}I_{31} \cos ( \theta_{u31}-\theta_{i31}). </math>

Belastningen er balansert og spenningskildene syklisk symmetriske, dermed gjelder at:

:<math>U_{\phi} = U_{12} = U_{23} = U_{31} \, </math>

:<math>I_{\phi} = I_{12} = I_{23} = I_{13} \, </math>

og dessuten:

:<math>\theta_{\phi} = \theta_{u12}-\theta_{i12} = \theta_{u23}-\theta_{i23} = \theta_{u13}-\theta_{i13} </math>

Middelverdien av effekt per fase i trekantkoblingen i det balanserte systemet må være identiske, altså gjelder:

:<math> P_{\phi} = P_1 = P_2 = P_3 = U_{\phi} I{\phi} \cos \theta_{\phi} </math>

Den totale middelverdien av effekten for hele lasten blir dermed:

:<math> P_T = 3 P_{\phi} = 3 U_{\phi} I_{\phi} \cos \theta_{\phi} </math>

Og for effekten uttrykt ved hjelp av linjespenning og linjestrøm:

:<math> P_T = 3 I \left ( \frac{I}{\sqrt{3}} \right ) \cos \theta_{\phi} = \sqrt{3} UI \cos \theta_{\phi}</math>

Altså akkurat samme formel som for de stjernekoblede belastningene. Når det gjelder total reaktiv effekt ''Q<sub>T</sub>'' og tilsynelatende effekt ''S<sub>T</sub>'' gjelder også de samme formlene som for den stjernekoblede belastningen. For øvrig er det som nevnt vanligere å benyttet symbolet ''φ'' for fasevinkel istedenfor ''θ<sub>ϕ</sub>''.

En spesiell sammenheng for stjerne og trekantkoblede laster er at totaleffekten i trekantkobling er tre ganger så stor som effekt som utvikles om de samme impedansene var koble i stjerne. Dette utnyttes i trefase [[asynkronmotor]]er der en ønsker å begrense startstrømmen. Først kobles spenningen til motoren med viklingene i stjernekobling. Etter at motoren har fått normalt turtall kobles vindingene over i trekant. Systemet for slik omkobling kalles for en ''stjerne/trekant-vender''.<ref>{{Kilde www | forfatter=Knut A Rosvold | tittel=asynkronmotor | url=https://snl.no/asynkronmotor | besøksdato= 3. september 2015 | verk= | utgiver=stl.no | arkiv_url= |arkivdato=29. desember 2012 | sitat= }}</ref>

====Momentan effekt i trefasekretser====
[[Fil:TMW 50906 Schnittmodell einer Drehstrommaschine (Asynchronmaschine).jpg|thumb|At momentan{{shy}}effekten til enhver tid er konstant i et tre{{shy}}fase{{shy}}system gjør at asynkron{{shy}}motorer som denne får et jevnt moment på akslingen. Rotoren i midten som er tilknyttet akslingen settes i rotasjon på grunn av det roterende magnet{{shy}}feltet som skapes av statoren. Statoren er her skåret delvis over, men noe av stator{{shy}}viklingene kan sees. For øvrig er det viklingene i statoren som er tilknyttet kraft{{shy}}systemet, og som ved tilførsel av tre{{shy}}fase{{shy}}strøm skaper det resulterende roterende magnetfeltet.]]

Den momentane effekten i en trefaselast kan uttrykkes for hver av de tre impedansene uttrykkes slik:

:<math>p_1 = \hat u_{1n} \hat \imath_1 = \hat u_{\phi} \hat \imath_{\phi} \cos \omega t \cos (\omega t - \theta_{\phi}), </math>

:<math>p_2 = \hat u_{2n} \hat \imath_2 = \hat u_{\phi} \hat \imath_{\phi} \cos (\omega t - \frac{2 \pi}{3}) \cos (\omega t - \theta_{\phi} - \frac{2 \pi}{3}), </math>

:<math>p_3 = \hat u_{3n} \hat \imath_3 = \hat u_{\phi} \hat \imath_{\phi} \cos (\omega t + \frac{2 \pi}{3}) \cos (\omega t - \theta_{\phi} + \frac{2 \pi}{3}), </math>

Her er det benyttet amplitudeverdier for spenning og strøm for fasespenninger og -strømmer. Ved bruk av trigonometriske identiteter utledes dette slik at summen av effekten for hver av fasene blir:

:<math>p_T = p_1+p_2+p_3 = 1,5 \hat u_{\phi} \hat \imath_{\phi} \cos \theta_{\phi} </math>

Dette kan også uttrykkes med effektivverdier for fasestrøm og -spenning:

:<math>p_T = 3 U_{\phi} I_{\phi} \cos \theta_{\phi} </math>

Altså er momentaneffekten i en belastning med trefasestrøm en konstant størrelse, altså uavhengig av tiden som i et enfasesystem. Dette er en av de viktigste egenskapene med et trefasesystem og er grunnen til at en trefasemotor utvikler et jevnt moment ut på akslingen. Dette i motsetning til en enfasemotor som vil kunne vibrere.<ref>[[#EC|James W. Nilsson: ''Electric Circuits'' side 431.]]</ref>

====Eksempel på beregning av effekt for en vekselstrømskrets====
Hver generator i kraftstasjonen tilknyttet de tre kløfters demning har en maksimal effekt på {{nowrap|840 MVA}}, effektfaktoren er oppgitt til 0,9 og linjespenningen er på {{nowrap|20 kV}}. Hvor stor er linjestrømmen? Hvor mye aktiv- og reaktiv effekt produserer generatoren? Hvor stor er årlig energiproduksjon med forutsetning om at generatoren går med denne ytelsen hele året?

For å regne ut strømmen må en benytte formelen for trefase tilsynelatende effekt løses med hensyn på strøm:

:<math> I = \frac{S_T}{\sqrt{3} U} = \frac{840 \cdot 10^6 \ MVA}{\sqrt{3} \cdot 20 \cdot 10^3 \ V } = 24 249 \ A</math>

Strømmen og de andre opplysningene benyttes videre for å finne aktiv og reaktiv effekt:

:<math> P_T = \sqrt{3}UI \cos \theta_{\theta} = \sqrt{3} \cdot 20 \cdot 10^3 \ V \cdot 24,2 \cdot 10^3 \ A \cdot 0,9 = 756,0 \ MW </math>

Med effektfaktoren 0,9 vil det si at ''cos φ'' = 0,9 der φ = arcuscosinus 0,9 = 25,84°. Denne vinkelen må en kjenne for å finne ''sin φ'', som i dette tilfellet blir lik 0,44.

:<math> Q_T = \sqrt{3}UI \sin \theta_{\theta} = \sqrt{3} \cdot 20 \cdot 10^3 \ V \cdot 24,2 \cdot 10^3 \ A \cdot 0,44 = 368,9 \ MVAr </math>

En test for å se om regnestykkene ble riktige er å kontrollere om aktiv og reaktiv effekt tilsammen gir tilsynelatende effekt. Til dette brukes den pytagoreiske læresetning:

:<math>S_T = \sqrt{P^2+Q^2} = \sqrt{(756,0^2 + 368,9^2)\cdot 10^6} \approx 840 \ MVA</math>
 
Som stemmer overens med de oppgitte opplysningene.

Årlig energiproduksjon i MWh er produktet av effekt og tiden. I et år er det 365 dager, med 24 timer i døgnet blir det total 8760 timer i året. Dermed blir energiproduksjonen:

:<math> W = P T = 756 \cdot 10^6 \ W \cdot 8760 \ h = 6 \ 622 \ 560 \ MWh = 6,6 \ TWh </math>