Redigerer Den generelle relativitetsteorien (avsnitt)

===Romlig metrikk===

Romlige avstander i det nærliggende området til en observatør i et punkt, kan måles ved «radarmetoden». Et lyssignal blir sendt ut mot et punkt i nærheten og reflektert tilbake til observatøren som registrerer refleksen det på et litt senere tidspunkt. Tidsforsinkelen han måler på sin standardklokke er da den dobbelte, romlige avstand til nabopunktet.

Lys beveger seg langs en geodetisk kurve som også må oppfylle kravet ''ds''<sup>2</sup> = 0. Splittes denne ligning opp i komponenter for tid og rom, kan man finne koordinattiden som går med for transmisjonen frem og tilbake, ved å løse en [[andregradsligning]] som gir

: <math>  dx^0 = {1\over g_{00}}\Big(-g_{0k}dx^k +  \sqrt{(g_{0i}g_{0j} - g_{00}g_{ij})dx^i dx^j} \Big) </math>

Da refleksjonen tilbake har  ''dx<sup>k</sup>'' med motsatt fortegn, vil det totale tidsforløpet på standardklokken være

: <math> d\tau = \sqrt{g_{00}}dx^0 = 2\sqrt{(g_{0i}g_{0j}/g_{00} - g_{ij})dx^i dx^j}</math>

Den kvadrerte avstanden til nabopunktet kan derfor skrives som

: <math> d\sigma^2 = \gamma_{ij} dx^i dx^j </math>

hvor

: <math> \gamma_{ij} = -  g_{ij} + {g_{0i}g_{0j}\over g_{00}} </math>

da er metrikken i det lokale, tredimensjonale rommet til denne observatøren.<ref name = Møller>C. Møller, ''The Theory of Relativity'', Oxford University Press, England (1960).</ref>
 
Benyttes dette resultatet i det fulle linjeelementet ''ds''<sup>2</sup> til tidrommet, kan det nå skrives på det kompakte formen

: <math> ds^2 = d\tau^2 - d\sigma^2 </math>

hvor nå det som var egentid, er blitt utvidet til å være gitt ved

: <math> d\tau = \sqrt{g_{00}}dx^0 + {g_{0k}dx^k\over \sqrt{g_{00}}} </math>

Med disse koordinatene for tid og rom har observatøren dermed etablert et lokalt Minkowski-rom hvor kinematikken er som i [[Den spesielle relativitetsteorien|spesiell relativitetsteori]].

Denne oppsplittingen er typisk for roterende koordinatsystem hvor den metriske tensoren har komponenter ''g''<sub>0''k''</sub> &ne; 0. Et enkelt eksempel er geometrien på en [[Generell relativitet på roterende skive|roterende skive]] hvor metrikken i [[polarkoordinater]] er

: <math> ds^2 = (1 - \omega^2r^2) dt^2 - 2\omega r^2dt d\theta - dr^2 - r^2 d\theta^2 </math>

hvis skiven roterer med [[vinkelhastighet]] ''&omega;''.<ref name = Møller/> Det første leddet på høyre side har ''g''<sub>00</sub> &ne; 0 og representerer [[sentrifugalkraft]]en som en observatør på skiven vil føle. Den kjennes ut som en tyngdekraft som tvinger han ut fra sentrum til skiven. Sender en observatør på skiven i en posisjon ''r'' > 0 og den sender et lyssignal inn mot sentrum av skiven, vil dette være [[rødforskyvning|rødforskjøvet]]. Likedan er det andre leddet et uttrykk for [[Corioliskraft|Coriolis-kraften]]. En observatør på skiven som benytter en standard målestav, vil finne at den har en geometri som er [[ikke-euklidsk geometri|ikke-euklidsk]] da omkretsen av skiven er større en 2''&pi;&thinsp;r''.

Det sees også fra den romlige metrikken som i dette eksemplet blir

: <math> d\sigma^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + {(\omega r^2)^2 d\theta^2\over 1 - \omega^2r^2} =  dr^2 + {r^2d\theta^2\over 1 - \omega^2r^2} </math>

En observatør som står utenfor skiven vil forklare dette ved at en målestav som ligger i radiell retning på skiven, viser riktig avstand da den ikke utsettes for [[Spesiell relativitet#Lengdekontraksjon|Lorentz-kontraksjon]]. Men en målestav som ligger vinkelrett på denne retningen, vil bevege seg med hastigheten ''v = &omega;r'' langs sin egen retning og derfor observeres som kortere enn en stav som ligger i ro. Av denne grunn behøves det flere målestaver for å dekke hele periferien til skiven som derfor må en omkrets > 2''&pi;&thinsp;r''.