Redigerer Trekant (avsnitt)

== Sirkler knyttet til en trekant ==
[[File:Triangle.Circumcenter.svg|thumb|150px|Omsirkelen til en trekant]]
=== Omsirkelen ===
Enhver trekant har en entydig bestemt [[sirkel]] som går gjennom alle de tre hjørnene i trekanten.  Denne sirkelen kalles den ''omskrevne'' sirkelen til trekanten eller også ''omsirkelen''.<ref name=UIA1/>  Senter i den omskrevne sirkelen ligger i skjæringspunktet til de tre normalene som går gjennom midtpunktet til hver av sidekantene, og dette punktet kalles ''omsenteret''.  I en spiss trekant ligger omsenteret innenfor trekanten,  mens en stumpvinklet trekant har senteret utenfor trekanten.  I en rettvinklet trekant ligger omsenteret på hypotenusen.

Omvendt gjelder også at dersom en trekant ''ABC'' har en omsirkel med [[diameter]] langs ''AB'', da er vinkelen ''C'' rett.  Dette resultatet er en form for [[Thales' setning]].  

[[Radius|Radien]] i en omsirkel ''R'' er gitt ved

:<math>R = \frac{abc}{4A}. \, </math>

Her er ''a'', ''b'' og ''c'' sidelengder, og ''A'' er arealet. 

[[Image:Incircle and Excircles.svg|right|thumb|Trekant med innsirkel og ytre tangeringssirkler]]
=== Innsirkelen ===
En ''innskreven'' sirkel til en trekant eller ''innsirkelen'' er en sirkel som [[tangent (matematikk)|tangerer]] alle tre sidekantene i trekanten. Den har sentrum i skjæringpunktet mellom halveringslinjene til de tre vinklene i trekanten.  Dette punktet kalles ''innsenteret'' til trekanten.<ref name=UIA3/>

Også i en innsirkel er radien relatert til arealet av trekanten.  Radien i innsirkelen ''r'' er gitt ved

:<math>r = \frac{2A}{o} \, </math>

der ''o'' er omkretsen av trekanten.  Ved å bruke Herons formel og sammenhengen 2''s'' = ''o'', så kan denne skrives som

:<math>r = \sqrt{ \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.</math>

Avstanden mellom innsenteret og omsenteret ''d'' er gitt ved ''Eulers trekantformel'':<ref name=MW7/>

:<math> d^2=R (R-2r) \,</math>

Fra denne følger også den såkalte ''Eulers ulikhet'', som relaterer radien i omsirkelen og radien i innsirkelen: 

:<math>R \ge 2r. </math>

=== Tangeringssirkler ===
Enhver trekant har tre ytre ''tangeringssirkler'', tre sirkler som hver for seg tangerer én sidekant og forlengelsen av de to andre.  Tangeringssirklene ligger utenfor trekanten.

Innsenteret til trekanten og sentrene i de tre tangeringssirklene danner sammen et såkalt [[ortosentrisk system]].  Dette er et system av fire punkter, der ett av punktene er ortosenter i en trekant med hjørner i de tre andre punktene. Systemet er symmetrisk, slik at uansett hvilke tre punkt en velger for å definere trekanten, så er det fjerde punktet ortosenteret.  

[[Image:Triangle.NinePointCircle.svg|200px|thumb|Nipunktsirkelen]]
=== Nipunktssirkelen ===
[[Nipunktssirkel]]en til en trekant går gjennom ni punkt som alle er knyttet til trekanten:

* På hver side, et midtpunkt
* På hver side, punktet der høyden treffer sidekanten
* På hver av de tre høydene, midtpunktet mellom hjørnet og ortosenteret.

Sirkelen kalles også ''Feuerbachs sirkel'', ''eulersirkelen'' og ''terquemsirkelen''.  Radien i nipunktssirkelen er lik halve radien i omsirkelen.  Senteret ligger på den såkalte [[Euler-linjen]].

Innsirkelen ligger inne i nipunktssirkelen og tangerer denne, og i tillegg vil nipunktssirkelen tangere alle de tre ytre tangeringssirklene.  Dette er et berømt resultat, kjent som [[Feuerbachs teorem]].  Punktet der innsirkelen og nipunktssirkelen tangerer kalles ''Feuerbach-punktet''.