Redigerer Den spesielle relativitetsteorien (avsnitt)

===Lorentz-transformasjon av elektromagnetiske felt===

[[Faradays lov]] forbinder det [[elektrisk felt|elektriske feltet]] '''E'''('''x''',''t'')  med det [[magnetisk felt|magnetiske feltet]] '''B'''('''x''',''t'') som kan uttrykkes ved Maxwell-ligningen

: <math>\boldsymbol\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math> 

Hvis man benytter et annet, inertielt  referansesystem, må loven der ha samme form uttrykt ved koordinatene som benyttes i det systemet. Beveger det seg langs ''x''-aksen med hastighet ''v'', er sammenhengen mellom koordinatene i de to systemene gitt ved Lorentz-transformasjonen

: <math> x' = \gamma(x - vt) , \;\;\; t' = \gamma(t  - xv/c^2) </math>

og som lar de transverse koordinatene ''y'' og ''z'' forbli uforandret. For at Maxwell-ligningen i det merkete systemet skal ha samme form, må de tilsvarende feltene '''E''''('''x'''',''t'&thinsp;'') og '''B''''('''x'''',''t'&thinsp;'') som observeres der, kunne relateres på en lignende måte til feltene i det stasjonære systemet. Det kan man finne ut ved å uttrykke Maxwell-ligningen ved koordinatene i det merkete systemet. Ved bruk av [[derivasjon|kjerneregelen]] finner man da de to partialderiverte blir

: <math>{\partial\over\partial x} = {\partial x'\over\partial x}{\partial\over\partial x'} + {\partial t'\over\partial x}{\partial\over\partial t'} = \gamma\Big({\partial\over\partial x'} - {v\over c^2}{\partial\over\partial t'}\Big), </math>

: <math>{\partial\over\partial t} = {\partial x'\over\partial t}{\partial\over\partial x'} + {\partial t'\over\partial t}{\partial\over\partial t'} = \gamma\Big({\partial\over\partial t'} - v{\partial\over\partial x'}\Big), </math>

mens de deriverte i ''y''- og ''z''-retningene forblir uforandret. Hvis man så betrakter ''z''-komponenten av Maxwell-ligningen som er

: <math> {\partial E_y\over\partial x} - {\partial E_x\over\partial y} = - {\partial B_z\over\partial t}, </math>

så forandres den til

: <math> \gamma {\partial\over\partial x'}\Big(E_y - v B_z\Big) - {\partial E_x\over\partial y'} =  -\gamma {\partial\over\partial t'}\Big(B_z - {v\over c^2} E_y\Big) </math>

Sammenligner man dette uttrykket med den formen den opprinnelige ligningen må ha i det merkete systemet, kan man lese ut de transformerte komponentene ''E'<sub>x</sub>'',  ''E'<sub>y</sub>'' og  ''B'<sub>z</sub>''. På samme måte finnes transformasjonen for noen av de andre feltkomponentene fra ''x''- og ''y''-komponentene av Maxwell-ligningen. 

En tilsvarende omskriving kan så gjennomføres for den andre Maxwell-ligningen {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''H''' {{=}}  &part;'''D'''/&part;''t&thinsp;''}} der {{nowrap|'''B''' {{=}} ''&mu;''<sub>0</sub>'''H'''&thinsp;}} og {{nowrap|'''D''' {{=}} ''&epsilon;''<sub>0</sub>'''E'''}} i [[vakum]]. Her er den kvadrerte [[lyshastigheten]] nå gitt som {{nowrap|''c''<sup>2</sup> {{=}} 1/''&epsilon;''<sub>0</sub>''&mu;''<sub>0</sub>}}. Dermed finner man for alle seks feltkomponenter resultatet

:<math>\begin{align}
  E'_x &= E_x                               & \qquad B'_x &= B_x \\
  E'_y &= \gamma \left( E_y - v B_z \right) &        B'_y &= \gamma \left( B_y + \frac{v}{c^2} E_z \right) \\
  E'_z &= \gamma \left( E_z + v B_y \right) &        B'_z &= \gamma \left( B_z - \frac{v}{c^2} E_y \right). \\
\end{align}</math>

De tilsvarende ligningene for den inverse transformasjonen finnes herfra ganske enkelt ved å la hastigheten ''v'' skifte fortegn.  Elektriske og magnetiske felt blandes derfor sammen ved en slik transformasjon. Hva som er et elektrisk felt i et inertialsystem, kan gi opphav til et magnetisk felt i et annet system.