Redigerer Den generelle relativitetsteorien (avsnitt)

==Tid og rom i tidrommet==

Av de fire koordinatene {{nowrap|''x<sup>&mu;</sup>'' {{=}} (''x''<sup>0</sup>,''x''<sup>1</sup>,''x''<sup>2</sup>,''x''<sup>3</sup>)}} vil det være en tidskoordinat som vanligvis betegnes som '''koordinattid''' {{nowrap|''t'' {{=}} ''x''<sup>0</sup>}} med tilhørende metrisk komponent {{nowrap|''g''<sub>00</sub> > 1}}.  De tre andre koordinatene angir romlig posisjon i tidrommet. Som i den spesielle relativitetsteorien tenker man seg at hver slik posisjon finnes en observatør som kjenner sine egne koordinater og er utstyrt med en standard klokke.<ref name = TW/> Den viser observatørens [[egentid]] ''&tau;'' som i alminnelighet skiller seg fra koordinattiden ''t''. Sammenhengen mellom disse to tidene er gitt ved det kvadratiske linjeelementet som gir

: <math> ds^2 = d\tau^2 = g_{00}(x) dt^2 </math>

da ''dx<sup>&thinsp;i</sup>'' = 0 i en fast posisjon. Forskjellen mellom disse to tidene kan ikke merkes på samme sted. Men for eksempel, hvis det sendes ut et periodisk signal som lys med en viss frekvens fra et sted, vil dette kunne mottas med en annen periode av en observatør på et annet sted. Dette gir opphav til [[tidsdilatasjon]] og [[rødforskyvning]] i et gravitasjonsfelt.

Denne rødforskyvningen er lett å regne ut i en statisk metrikk, det vil si en hvor de metriske komponentene er uavhengige av koordinattiden ''t''. Da vil lyssignalet hele tiden følge den samme, geodetiske kurve slik at perioden målt med en koordinatklokke forblir uforandret. Sendes signalet ut fra posisjon 1,  vil et tikk til standardklokken der være {{nowrap|''d&tau;''<sub>1</sub> {{=}} ''T''<sub>1</sub>}} som er perioden til lyset observert observert i denne posisjonen. Denne er igjen forbundet med [[frekvens]]en ved sammenhengen {{nowrap|''&nu;''<sub>1</sub> {{=}} 1/''T''<sub>1</sub>}} når lyshastigheten {{nowrap|''c'' {{=}} 1}}. Dette signalet blir mottatt i posisjon 2 med periode {{nowrap|''d&tau;''<sub>2</sub> {{=}} ''T''<sub>2</sub> {{=}} 1/''&nu;''<sub>2</sub>}} slik at man har sammenhengen

: <math> \nu_1\sqrt{g_{00}(\mathbf{x}_1)} = \nu_2\sqrt{g_{00}(\mathbf{x}_2)} </math>

mellom frekvensene. I den newtonske grensen hvor ''g''<sub>00</sub> = 1 + 2&Phi;, blir dermed formelen for rødforskyvningen

: <math> {\nu_1\over\nu_2} = {1 + \Phi(\mathbf{x}_2)\over 1 + \Phi(\mathbf{x}_1)} = 1 + \Phi(\mathbf{x}_2) - \Phi(\mathbf{x}_1) </math>

i overenstemmelse med hva man finner direkte fra [[ekvivalensprinsippet]].

Alternativt kan man finne dette resultatet ved å betrakte lyssignalet som en strøm av [[foton]]er. Hvert foton har da en fireimpuls som kan finnes fra den kovariante Lagrange-funksjonen ''L'' som

: <math> p_\mu = \partial L/\partial \dot{x}^\mu = g_{\mu\nu}\dot{x}^\nu </math>

hvor den prikkderiverte her er med hensyn på en kurveparameter ''&lambda;''. Hvis nå metrikken er statisk og derfor uavhengig av koordinaten {{nowrap|''t'' {{=}} ''x''<sup>0</sup>}}, er denne koordinaten [[Variasjonsregning|syklisk]] slik at den [[Lagrange-mekanikk|konjugerte impulsen]] {{nowrap|''p''<sub>0</sub>}} har en konstant verdi.  Her, som i [[kovariant relativitetsteori|spesiell relativitetsteori]], vil en observatør med firehastighet {{nowrap|''u<sup>&mu;</sup>''}} måle en energi for fotonet med verdi {{nowrap|''E'' {{=}} ''u&sdot;p''}}. Da observatøren er i ro og man alltid har at {{nowrap|''u&sdot;u'' {{=}} 1}}, vil {{nowrap|''g''<sub>00</sub>''u''<sup>0</sup>''u''<sup>0</sup> {{=}} 1}}. Dermed er den observerte energien {{nowrap|''E'' {{=}} ''u''<sup>0</sup>''p''<sub>0</sub>}}. Da denne er proporsjonal med frekvensen til fotonet og {{nowrap|''p''<sub>0</sub>}} er konstant, gir dette samme formel for rødforskyvningen.

===Romlig metrikk===

Romlige avstander i det nærliggende området til en observatør i et punkt, kan måles ved «radarmetoden». Et lyssignal blir sendt ut mot et punkt i nærheten og reflektert tilbake til observatøren som registrerer refleksen det på et litt senere tidspunkt. Tidsforsinkelen han måler på sin standardklokke er da den dobbelte, romlige avstand til nabopunktet.

Lys beveger seg langs en geodetisk kurve som også må oppfylle kravet ''ds''<sup>2</sup> = 0. Splittes denne ligning opp i komponenter for tid og rom, kan man finne koordinattiden som går med for transmisjonen frem og tilbake, ved å løse en [[andregradsligning]] som gir

: <math>  dx^0 = {1\over g_{00}}\Big(-g_{0k}dx^k +  \sqrt{(g_{0i}g_{0j} - g_{00}g_{ij})dx^i dx^j} \Big) </math>

Da refleksjonen tilbake har  ''dx<sup>k</sup>'' med motsatt fortegn, vil det totale tidsforløpet på standardklokken være

: <math> d\tau = \sqrt{g_{00}}dx^0 = 2\sqrt{(g_{0i}g_{0j}/g_{00} - g_{ij})dx^i dx^j}</math>

Den kvadrerte avstanden til nabopunktet kan derfor skrives som

: <math> d\sigma^2 = \gamma_{ij} dx^i dx^j </math>

hvor

: <math> \gamma_{ij} = -  g_{ij} + {g_{0i}g_{0j}\over g_{00}} </math>

da er metrikken i det lokale, tredimensjonale rommet til denne observatøren.<ref name = Møller>C. Møller, ''The Theory of Relativity'', Oxford University Press, England (1960).</ref>
 
Benyttes dette resultatet i det fulle linjeelementet ''ds''<sup>2</sup> til tidrommet, kan det nå skrives på det kompakte formen

: <math> ds^2 = d\tau^2 - d\sigma^2 </math>

hvor nå det som var egentid, er blitt utvidet til å være gitt ved

: <math> d\tau = \sqrt{g_{00}}dx^0 + {g_{0k}dx^k\over \sqrt{g_{00}}} </math>

Med disse koordinatene for tid og rom har observatøren dermed etablert et lokalt Minkowski-rom hvor kinematikken er som i [[Den spesielle relativitetsteorien|spesiell relativitetsteori]].

Denne oppsplittingen er typisk for roterende koordinatsystem hvor den metriske tensoren har komponenter ''g''<sub>0''k''</sub> &ne; 0. Et enkelt eksempel er geometrien på en [[Generell relativitet på roterende skive|roterende skive]] hvor metrikken i [[polarkoordinater]] er

: <math> ds^2 = (1 - \omega^2r^2) dt^2 - 2\omega r^2dt d\theta - dr^2 - r^2 d\theta^2 </math>

hvis skiven roterer med [[vinkelhastighet]] ''&omega;''.<ref name = Møller/> Det første leddet på høyre side har ''g''<sub>00</sub> &ne; 0 og representerer [[sentrifugalkraft]]en som en observatør på skiven vil føle. Den kjennes ut som en tyngdekraft som tvinger han ut fra sentrum til skiven. Sender en observatør på skiven i en posisjon ''r'' > 0 og den sender et lyssignal inn mot sentrum av skiven, vil dette være [[rødforskyvning|rødforskjøvet]]. Likedan er det andre leddet et uttrykk for [[Corioliskraft|Coriolis-kraften]]. En observatør på skiven som benytter en standard målestav, vil finne at den har en geometri som er [[ikke-euklidsk geometri|ikke-euklidsk]] da omkretsen av skiven er større en 2''&pi;&thinsp;r''.

Det sees også fra den romlige metrikken som i dette eksemplet blir

: <math> d\sigma^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + {(\omega r^2)^2 d\theta^2\over 1 - \omega^2r^2} =  dr^2 + {r^2d\theta^2\over 1 - \omega^2r^2} </math>

En observatør som står utenfor skiven vil forklare dette ved at en målestav som ligger i radiell retning på skiven, viser riktig avstand da den ikke utsettes for [[Spesiell relativitet#Lengdekontraksjon|Lorentz-kontraksjon]]. Men en målestav som ligger vinkelrett på denne retningen, vil bevege seg med hastigheten ''v = &omega;r'' langs sin egen retning og derfor observeres som kortere enn en stav som ligger i ro. Av denne grunn behøves det flere målestaver for å dekke hele periferien til skiven som derfor må en omkrets > 2''&pi;&thinsp;r''.

===Lokalt aksekors===
I hvert punkt i tidrommet kan en firevektor ''u'' uttrykkes ved de [[Koordinatsystem#Kontravariante og kovariante komponenter|kontravariante]]  komponentene ''u<sup>&thinsp;&mu;</sup>'' på basisvektorene ''e<sub>&mu;</sub>'' til koordinatsystemet, det vil si {{nowrap|''u {{=}} u<sup>&thinsp;&mu;</sup>''&thinsp;''e<sub>&mu;</sub>''}}. Alternativt kan man benytte den [[Koordinatsystem#Kontravariante og kovariante komponenter|duale basis]]  ''e<sup>&thinsp;&mu;</sup>'' med de tilsvarende kovariante komponentene ''u<sub>&mu;</sub>'' slik at man har i stedet {{nowrap|''u {{=}} u<sub>&mu;</sub>''&thinsp;''e<sup>&thinsp;&mu;</sup>''}}. De kovariante komponentene av den metriske tensoren er da gitt ved det indre produktet {{nowrap|''g<sub>&mu;&nu;</sub>'' {{=}} ''e<sub>&mu;</sub>&sdot;e<sub>&nu;</sub>''.}}

Slike koordinatkomponenter av en vektor eller tensor vil per definisjon forandres ved en koordinattransformasjon og kan ikke uten videre knyttes til direkte målinger. Det kan derimot gjøres ved å opprette i et punkt hvor målingene foretas, et ortonormert sett med basisvektorer

: <math> e_{\alpha'} =  e_\mu V^{\mu}_{\;\alpha'} </math>

hvor nå ''V<sup>&thinsp;&mu;</sup><sub>&alpha;'</sub>&thinsp;'' utgjør komponentene av en 4&times;4 transformasjonsmatrise. Denne basisen tilsvarer den som benyttes i et flatt, Minkowski-rom med metrikk som nå kan skrives som ''&eta;<sub>&alpha;'&thinsp;&beta;'</sub>'' = ''e<sub>&alpha;'</sub>&sdot;e<sub>&beta;'</sub>&thinsp;''. Derfor må transformasjonsmatrisen oppfylle betingelsen

: <math> \eta_{\alpha'\beta'} =  g_{\mu\nu} V_{\;\alpha'}^\mu V_{\;\beta'}^\nu </math>
 
En slik ortonormert basis er et '''lokalt aksekors''' eller et ''vierbein'' på tysk (og engelsk) da det består av fire akser i et firedimensjonalt tidrom.<ref name = MTW/>

Fra den inverse transformasjonsmatrisen med elementer  ''V<sup>&thinsp;&alpha;'</sup><sub>&mu;</sub>&thinsp;'' som tilfredsstiller

: <math>  V_{\;\;\mu}^{\alpha'} V^\mu_{\;\beta'} = \delta^{\alpha'}_{\;\beta'}  \;\;\;  \text{og} \;\; V^\mu_{\;\alpha'}V_{\;\;\nu}^{\alpha'} = \delta_{\;\nu}^{\mu}   </math>,

får man da den tilsvarende sammenhengen

: <math> g_{\mu\nu} = \eta_{\alpha'\beta'}V_{\;\;\mu}^{\alpha'}V_{\;\;\nu}^{\beta'} </math>.

Den inverse transformasjonen av basisvektorene er dermed

: <math> e_\mu  =   e_{\alpha'} V_{\;\;\mu}^{\alpha'} </math>.

For den duale basisen har man da på samme måte at

: <math> e^\mu  =   V^{\mu}_{\;\alpha'} e^{\alpha'} \;\;\;  \text{og} \;\;  e^{\alpha'} = V_{\;\;\mu}^{\alpha'} e^\mu  </math>.

Enhver vektor eller tensor kan nå dekomponeres i sine komponenter på en slik orthonormert basis. For eksempel, for en firevektor har man

: <math> u = u^\mu e_\mu =  u^\mu e_{\alpha'} V_{\;\;\mu}^{\alpha'} </math>

slik at de kontravariante komponentene i denne transformerte basisen er

: <math>  u^{\alpha'} = V_{\;\;\mu}^{\alpha'} u^\mu </math>.

For de kovariante komponentene har man på samme måte

: <math>  u_{\alpha'} =  u_\mu V^{\mu}_{\;\alpha'} </math>.

Er den gitte metrikken ''g<sub>&mu;&nu;</sub>'' diagonal, vil også transformasjonsmatrisen mellom denne og Minkowski-metrikken være diagonal.

===Fysiske komponenter===

De ortonormerte komponentene tilsvarer de vanlige, [[Krumlinjete koordinater#Fysiske komponenter|fysiske komponentene]] i et [[Krumlinjete koordinater|krumlinjet koordinatsystem]]. For eksempel, vil en fri partikkel med masse ''m'' ha en 4-impuls ''p'' i tidrommet som oppfyller {{nowrap|''p''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}} ''m''<sup>&thinsp;2</sup>.}} Hvis metrikken er uavhengig av koordinattiden {{nowrap|''t'' {{=}} ''x''<sup>&thinsp;0</sup>}}, er komponenten ''p''<sub>0</sub> konstant, noe som uttrykker den relativistiske bevarelse av partikkelens energi. Er i tillegg metrikken diagonal, er den ortonormerte komponenten

: <math> E = p_{0'} =  p_0  V^0_{\;0'}</math>

partikkelens fysiske energi. Da nå den metriske komponenten {{nowrap|''&eta;''<sub>0'0'</sub> {{=}} 1 {{=}} ''g''<sub>00</sub>''V''<sup>0</sup><sub>0'</sub>''V''<sup>0</sup><sub>0'</sub>}}, følger det at {{nowrap|''V''<sup>0</sup><sub>0'</sub> {{=}} 1/&radic;''g''<sub>00</sub>}}. Derfor har man at den fysiske energien er gitt ved

: <math> E = {p_0\over\sqrt{g_{00}}} </math>.

Dette er samme uttrykket som følger fra {{nowrap|''E'' {{=}} ''u&sdot;p''}} der ''u'' er 4-hastigheten til observatøren som foretar målingene.

På samme måte utgjør de romlige komponentene ''p<sub>k'</sub> = p<sub>k</sub>V<sup>k</sup><sub>k'</sub>&thinsp;'' partikkelens fysiske 3-impuls '''p''' forbundet med energien ved standardrelasjonen

: <math> E^2 = \mathbf{p}^2 + m^2 </math>.

Da dette gir ''E = m'' + '''p'''<sup>2</sup>/2''m'' i den newtonske grensen der &radic;''g''<sub>00</sub> = 1 + &Phi;, reduseres den relativistiske energibevarelsen for partikkelen til det ikke-relativistiske uttrykket

: <math> {\mathbf{p}^2\over 2m} + m\Phi = \text{konstant} </math>

for bevarelse av [[kinetisk energi|kinetisk]] pluss [[potensiell energi]] i gravitasjonspotensialet &Phi;.