Redigerer Vektoranalyse (avsnitt)

===Tre dimensjoner===
I et tredimensjonalt, [[euklidsk rom]] hvor punkter angis i et [[kartesisk koordinatsystem]] (''x, y, z'') med basisvektorer '''e'''<sub>''x''</sub>, '''e'''<sub>''y''</sub> og '''e'''<sub>''z''</sub>, kan gradienten av funksjonen {{nowrap|''F''(''x, y, z'')&thinsp;}} uttrykkes ved [[nabla-operator]]en <math> \boldsymbol{\nabla} </math> og skrives som

: <math> \boldsymbol{\nabla}F = {\partial F\over \partial x}\mathbf{e}_x + {\partial F\over \partial y} \mathbf{e}_y + {\partial F\over \partial z}\mathbf{e}_z </math>

Da nabla er en vektoroperator, kan den virke på et [[vektorfelt]] '''A'''(''x, y, z'') = ''A<sub>x</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''x''</sub> + ''A<sub>y</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''y''</sub> + ''A<sub>z</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''z''</sub> på to forskjellige måter.<ref name = Spiegel> M. R. Spiegel, ''Vector Analysis'', Schaum's Outline Series, New York, (1959).</ref> Enten kan den kombineres med dette ved et skalert [[indreprodukt]] eller ved et vektorielt [[kryssprodukt]]. Den første muligheten gir opphav til [[divergens]]en 

: <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A} = {\partial A_x\over\partial x} + {\partial A_y\over\partial y} + {\partial A_z\over\partial z} </math>

av vektorfeltet som er en skalar størrelse. Derimot ved bruk av den andre muligheten basert på vektorproduktet, finner man [[curl]] av feltet som er et nytt vektorfelt. Fra definisjonen av kryssproduktet kan denne vektorderivasjonen skrives som

: <math> \begin{align}\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A} &= \left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\mathbf{e}_x +  \left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\mathbf{e}_y + \left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\mathbf{e}_z \\ &= \left|\begin{matrix} 
    \mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\
    A_x & A_y & A_z \end{matrix}\right| 
\end{align}</math>

Hvis vektoren '''A''' er en gradient slik at man kan skrive '''A''' = '''&nabla;'''&thinsp;''F'', vil curl til vektoren bli null. Da er hver komponent gitt som ''A<sub>k</sub>'' = &part;''<sub>k</sub>F'' slik at den første komponenten til dens curl er {{nowrap|('''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''A''')<sub>''x''</sub> {{=}} &part;''<sub>y</sub>A<sub>z</sub>'' - &part;''<sub>z</sub>A<sub>y</sub>''}} = {{nowrap|(&part;<sub>''y''</sub>&part;<sub>''z''</sub> - &part;<sub>''z''</sub>&part;<sub>''y''</sub> )''F'' {{=}} 0}} da rekkefølgene til de partiellderiverte er uten betydning. Dermed er denne komponenten null og på samme måte de andre. Man har da generelt

: <math> \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\nabla}F = 0 </math>

Divergensen av en gradient er ikke lik med null, men definerer [[Laplace-operator]]en

: <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\nabla}F = \nabla^2F = {\partial^2 F\over\partial x^2} + {\partial^2 F\over\partial y^2} + {\partial^2 F\over\partial z^2}</math>

Derimot er divergensen av en curl alltid lik null. Det følger fra identiteten

: <math> \boldsymbol{\nabla} \cdot (\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A} ) = 0 </math>

som vises ved å eksplisitt skrive ut divergensen til vektoren som er curl av '''A'''. Den består av seks termer som gjensidig kansellerer hverandre.<ref name = Spiegel/> 

Det vektorielle produktet av to vektorer eksisterer bare i rom med tre dimensjoner. Man kan derfor ikke uten videre benytte curl i rom med høyere dimensjoner enn {{nowrap|''N'' {{=}} 3}}. Denne begrensningen eksisterer ikke for divergensen av vektorfelt som kan defineres på samme måte som i tre dimensjoner.<ref name = Boas/>