Redigerer Tolegemeproblem (avsnitt)

==Redusert masse==

I motsetning til posisjonen '''R''' til messesenteret kan den relative avstanden '''r''' =  '''x'''<sub>1</sub> - '''x'''<sub>2</sub>&thinsp; mellom massene forandre seg med vilkårlig hastighet. Fra de to bevegelsesligningene følger

: <math>  \ddot\mathbf{r} = \ddot\mathbf{x}_1 -   \ddot\mathbf{x}_2 = \Big({1\over m_1} + {1\over m_2}\Big) \mathbf{F}_{12} </math>

som kan skrives som

: <math>  m\ddot\mathbf{r} = \mathbf{F}_{12} </math>

hvor 

: <math> m = {m_1 m_2\over m_1 + m_2} </math>

er den '''reduserte massen''' til systemet av to masser. Tolegemeproblemet er dermed blitt redusert til et problem som omhandler bevegelsen til kun et fiktivt legeme med denne massen. Når den ene av de to opprinnelige massene er mye tyngre enn den andre, er deres reduserte masse tilnærmet lik den minste massen og massesenteret ligger tilnærmet i ro der den tyngste massen befinner seg. I det spesielle tilfellet at de to massene er like store, er den reduserte massen halvparten av den ene med massesenteret midt mellom dem.

Kraften '''F'''<sub>12</sub>&thinsp; mellom de to massene kan bare avhenge av den relative avstanden '''r'''. Hvis det ikke var tilfellet, ville det bety at kreftene som virker på dem, ville forandres ved en parallell forflytning av begge. Det er i motstrid med antagelsen at det ikke virker ytre krefter på systemet.

[[Fil:Binary system orbit q=10 e=0.5.gif|right|thumb|En tung og en lett masse bundet sammen ved [[tyngdekraft]]en beveger seg begge i [[ellipse]]baner.]]
Ved bruk av de to nye vektorene '''R'''(''t''&thinsp;) og '''r'''(''t''&thinsp;) kan posisjonene til de opprinnelige massene uttrykkes som

: <math> \mathbf{x}_1(t) = \mathbf{R} (t) + \frac{m}{m_1} \mathbf{r}(t) </math>
: <math> \mathbf{x}_2(t) = \mathbf{R} (t) - \frac{m}{m_2} \mathbf{r}(t) </math>

Siden massesenteret beveger seg med konstant hastighet, kan man alltid velge det spesielle '''massesentersystemet''' hvor dette ligger i ro, det vil si {{nowrap|'''R'''(''t''&thinsp;) {{=}} 0}}. Da er bevegelsen til begge massene gitt ved den relative avstanden '''r'''(''t''&thinsp;). De befinner seg da hele tiden på motsatt side av messesenteret og i en avstand fra dette omvendt proporsjonalt med deres masser.

I det spesielle tilfellet at massene er bundet sammen av en kraft som er gitt ved [[Newtons gravitasjonslov]] eller [[Coulombs lov]] for elektriske krefter, vil den relative bevegelsen i det generelle tilfellet være en [[ellipse]] som beskrevet ved [[Keplers lover]]. Hver av de to massene vil derfor følge sin egen ellipsebane med hovedakser i samme retning og lengder omvendt proporsjonal med deres individuelle masser.