Redigerer Rutherford-spredning (avsnitt)

==Matematisk beskrivelse==
[[Fil:Gold foil experiment conclusions.svg|thumb|150px|Spredning av alfa-partikler i Thomsons og Rutherfords atommodell.]]
Når atomkjernen antas å ha [[elektrisk ladning]] ''Q'' = ''Ze'' der ''e'' er [[elementærladning]]en, gir den opphav til et [[elektrisk potensial]] {{nowrap|''&Phi;'' {{=}} ''Q''/4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub>''r''}} i avstand ''r&thinsp;'' når man benytter [[måleenhet]]er i [[SI-systemet]]. En ''&alpha;''-partikkel som befinner seg i dette punktet og har ladning ''q'', har da en [[potensiell energi]] 

: <math> V(r) = {qZe\over 4\pi\varepsilon_0 r} </math>

Ved å innføre konstanten ''g'' = ''qZe''/4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub>, kan denne skrives mer kompakt som {{nowrap|''V'' {{=}} ''g''/''r''}}.

Man kan anta at alfapartikkelen med masse ''m&thinsp;'' har hastigheten ''v'' langt borte fra atomkjernen hvor potensialet kan settes lik null. Den starter da ut med en total energi som er lik med den [[Kinetisk energi|kinetiske energien]]

: <math> E = {1\over 2}mv^2 </math>

Da partikkelen har positiv ladning ''q'' på samme måte som kjernen, vil en partikkel som beveger seg rett mot denne, bremses opp. Ved en minste avstand ''d'' vil den helt stoppe opp og reflekteres tilbake i motsatt retning. I dette punktet er den kinetiske energien gått over til ren, potensiell energi slik at denne avstanden er {{nowrap|''d'' {{=}} ''g''/''E''}}. Desto høyere hastigheten er, desto nærmere atomkjernen kommer ''&alpha;''-partikkelen.<ref name = Eisberg> R.M. Eisberg, ''Fundamentals of Modern Physics'', John Wiley &. Sons, New York (1965). </ref>

===Hyperbelbevegelse===
[[Fil:Rutherford-scattering-atom de.svg|left|thumb|270px|Geometrien til kollisjonen der ''&alpha;''-partikkelen befinner seg i sitt nærmeste punkt til atomkjernen.]]

I sin beregning av [[spredningstverrsnitt]]et for prosessen benyttet Rutherford seg av at Coulomb-kraften fra atomkjernen varierer med avstanden på samme måte som [[tyngdekraft|gravitasjonskraften]] som styrer en [[planet]] om [[Solen]].<ref name = Rutherford-1911/> Da kraften er frastøtende, vil bevegelsen istedetfor en [[ellipse]] bli en [[hyperbel]] som for noen [[komet]]er. På samme måte som for en bunden ellipsebane, har hovedaksen en lengde ''a'' som kun avhenger av den totale energien til partikkelen og er derfor uavhengig av hvordan den nærmer seg atomkjernen. Fra det spesielle tilfelle med en sentral kollisjon har man da at ''d'' = 2''a'' hvorav denne lengden kan uttrykkes ved hastigheten til alfapartikkelen.

For en vilkårlig kollisjon ville partikkelen ha passert atomkjernen i en avstand ''b'' fra kjernen hvis det ikke hadde vært noen spredning. Dette er kollisjonens «støtparameter». Når den er i sitt nærmeste punkt, befinner den seg i en retning gitt ved vinkelen ''&alpha;'' fra denne innkommende retningen. Den totale spredningsvinkelen er derfor {{nowrap|''&theta;'' {{=}} ''&pi;'' - 2''&alpha;''}}. Fra geometrien til kollisjonen følger nå at

: <math> \tan\alpha = {b\over a} = \cot{\theta\over 2} </math>

Denne sammenhengen gjør det mulig å betrakte støtparameteren ''b&thinsp;'' som hyperbelens imaginære akse. Den tilfredsstiller ''a''<sup>&thinsp;2</sup> + ''b''<sup>&thinsp;2</sup> = ''c''<sup>&thinsp;2</sup> hvor da ''c&thinsp;'' er avstanden fra hyperbelens sentrum til partikkelen når den er nærmest atomkjernen. Avstanden mellom denne og partikkelen i dette spesielle punktet er derfor

: <math> r_{min} = a+ c = a + {a\over\sin\theta/2}  </math>

For et sentralstøt er ''&theta;'' = ''&pi;&thinsp;'' slik at ''r<sub>min</sub>'' = 2''a'' som forventet.

[[Dreieimpuls]]en til partikkelen er konstant under hele støtet. Hvis den har hastigheten ''v<sub>n</sub>&thinsp;'' i sitt nærmeste punkt, vil da {{nowrap|''vb'' {{=}} ''v<sub>n</sub>''(''c'' + ''a'').}} Kvadreres denne sammenhengen, gir den

: <math> v^2(c - a) = v_n^2(c + a) </math>

Likedan gir bevarelse av energien til partikkelen

: <math> E = {1\over 2} mv_n^2 + {g\over c + a} </math>

Eliminasjon av hastigheten ''v<sub>n</sub>&thinsp;'' gir nå {{nowrap|''g'' {{=}} 2''aE&thinsp;''}} hvor {{nowrap|''E'' {{=}} ''mv''<sup>&thinsp;2</sup>/2}} er partikkelens totale energi.

===Spredningstverrsnitt===
[[Fil:Ruthd.png|thumb|300px|Illustrasjon av hvordan virkningstverrsnittet varierer med spredningsvinkelen.]]
Denne klassiske beregningen av bevegelsen til alfapartikkelen som Rutherford gjennomførte, kan nå benyttes til å beregne det [[Spredningstverrsnitt#Differensielt spredningstverrsnitt|differensielle spredningstverrsnittet ]] for prosessen. Det gir sannsynligheten for å detektere en partikkel i et differensielt [[romvinkel]]element {{nowrap|''d&Omega;'' {{=}} 2''&pi;''&thinsp;sin''&theta;''&thinsp;''d&theta;''}}. Formelen 

: <math> {d\sigma\over d\Omega} = {b\over\sin\theta} {db\over d\theta} </math>

kan da benyttes der man tar absoluttverdien av den deriverte ''db''/''d&theta;'' hvis denne er negativ. Ved å benytte at nå er ''b'' = ''a''&thinsp;cot(''&theta;''/2), finner man herav hvordan dette tverrsnittet varierer med  spredningsvinkelen ''&theta;'' og den kinetiske energien ''E'' til ''&alpha;''-partikkelen,

: <math> {d\sigma\over d\Omega} = {a^2\over 4\sin^4(\theta/2)}  = {g^2\over 4m^2 v^4\sin^4(\theta/2)} </math>

ved å benytte sammenhengene ''a'' = ''d''/2 = ''g''/2''E''. Det spesielle med dette resultatet til Rutherford er at man kommer frem til samme formel ved bruk av [[kvantemekanikk]]. I utgangspunktet var det ingen grunn til et slikt sammentreff.<ref name = Eisberg/>

Ved de videre eksperimentene til Geiger og Marsden ble det verifisert at spredningstverrsnittene øker med kvadratet til kjerneladningen ''Ze'' og avtar som 1/''v''<sup>4</sup> med hastigheten til partiklene. På samme ble vinkelvariasjonen 1/sin<sup>4</sup>(''&theta;''/2) funnet å være i overensstemmelse med de eksperimentelle resultatene.<ref name = GM-1913/>