Redigerer Runge-Lenz-vektor (avsnitt)

===Egenskaper===
[[Fil:Laplace Runge Lenz vector2.svg|thumb|360px|Runge-Lenz-vektoren er den samme uansett hvor i banen partikkelen befinner seg.]]

Baneplanet til partikkelen er definert ved '''r'''&sdot;'''L''' = 0 og inneholder også vektorproduktet '''p'''&thinsp;&times;&thinsp;'''L'''. Runge-Lenz-vektoren ligger derfor i dette planet. Dens lengde er 

: <math> \begin{align} A^2 &= p^2 L^2 + m^2k^2 - 2m{k\over r} \mathbf{r}\cdot \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L}\right) \\
&=  m^2k^2 + 2mEL^2 \end{align} </math> 

fordi '''r'''&sdot;('''p'''&thinsp;&times;&thinsp;'''L''') = ('''r'''&thinsp;&times;&thinsp;'''p''')&sdot;'''L''' = ''L''<sup>2</sup>  og ''E'' = ''p''<sup>&thinsp;2</sup>/2''m'' - ''k''/''r'' er energien til partikkelen i banen.

Banens form er gitt ved [[skalarprodukt]]et 

: <math> \mathbf{A}\cdot\mathbf{r} = Ar\cos\theta = \mathbf{r}\cdot \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L}\right) - mkr </math> 

som dermed følger fra ligningen 

: <math> \frac{1}{r} = \frac{mk}{L^{2}} \left( 1 + \frac{A}{mk} \cos\theta \right) </math>

Den beskriver et [[kjeglesnitt]] med [[Semi latus rectum|semi-latus rectum]] {{nowrap|''p'' {{=}} ''L''<sup>2</sup>/''mk''}} og som har  [[Kjeglesnitt#Geometriske definisjoner|eksentrisitet]] {{nowrap|''e'' {{=}} ''A''/''mk''}}. Denne er derfor større eller mindre enn én alt etter som ''A'' > ''mk'' eller ''A'' < ''mk''. Da bundne baner har energi ''E'' <  0, vil de derfor være [[ellipse]]r, mens åpne baner er [[hyperbel|hyperbler]] da de har postiv energi. Dette er i overensstemmelse med [[Keplers lover]].<ref name = Goldstein/>

For snart to hundre år siden studerte [[William Rowan Hamilton]] vektoren 

: <math> \mathbf{B} = \mathbf{p} +\left(\frac{mk} {rL^2}\right) (\mathbf{r}\times\mathbf{L}) </math>

som er definert ved at '''A''' = '''B'''&thinsp;&times;&thinsp;'''L'''. Den står vinkelrett på Runge-Lenz-vektoren og ligger i samme plan som denne. Vanligvis omtales den som banens ''binormal''.<ref name = Arnold/>