Redigerer Riemannsk sfære (avsnitt)

=== Stereografisk projeksjon ===
[[Fil:stereografisk.png|right|thumb|300px|En-til-en overensstemmelse mellom en sfære (representert av en sirkel) og det utvidede komplekse planet (representert av en linje). Bildet er en todimensjonal representasjon av stereografisk projeksjon fra nordpolen.]]
For å etablere samsvar mellom punkter i det utvidede komplekse planet og den riemannske sfæren, lar vi først <math>z</math>-planet tangere sfærens sydpol. Deretter bruker vi [[stereografisk projeksjon]] fra sfærens nordpol. Dette gjøres ved å tegne en linje fra nordpolen som krysser både sfæren og det komplekse planet. Gjennom denne fremgangsmåten oppnås en en-til-en overensstemmelse mellom punkter i det komplekse planet og punkter på den riemannske sfæren.

For å fullføre denne en-til-en overensstemmelsen for det ''utvidede'' komplekse planet, definerer vi nordpolen som <math>z = \infty</math>. Merk at sydpolen er <math>z = 0</math>, skal vi følge logikken ovenfor.

Samsvaret mellom <math>w</math>-planet og den riemannske sfæren gjøres mye på samme måte, men "opp-ned". Det vil si at vi lar <math>w</math>-planet tangere nordpolen og orienterer det motsatt av  <math>z</math>-planet, slik at <math>w = 1, i, -1, -i</math> passer overens med <math>z = 1, -i, -1, i</math>. Deretter utfører vi en stereografisk projeksjon fra ''sydpolen'', og på samme måte defineres nå sydpolen som <math>w = \infty</math>. Nå har hvert punkt på sfæren både en <math>z</math>- og <math>w</math>-koordinat, forbundet gjennom transformasjonen gitt over.

==== Alternativ stereogragisk projeksjon ====
En alternativ versjon av den stereografiske projeksjonen plasserer planene ved ekvator av sfæren, men bevarer deres motsatte orientering. I dette tilfellet er altså planene ikke geometrisk adskilt.

Denne versjonen har vært mindre populær i matematisk utvikling av den riemannske sfære, men forefaller mer populær blant fysikere. Den foretrekkes eksempelvis av [[Roger Penrose]] i hans utvikling av [[twistor-teori]] ([http://users.ox.ac.uk/~tweb/00006/index.shtml som demonstreres i denne artikkelen]).

==== Geometriske bemerkninger ====
Stereografisk projeksjon avbilder alle linjer og sirkler i det komplekse planet til sirkler på den riemannske sfære. Grunnen til at linjer avbildes som sirkler er at en linje med uendelig lengde kan sees på som en sirkel gjennom punktet uendelig.