Redigerer Rayleigh-Jeans’ strålingslov (avsnitt)

==Historisk utledning==

Sommeren 1900 publiserte [[John William Strutt|lord Rayleigh]], som hadde innsikt i teorien for [[lyd]] og [[Bølgeligning#Lydbølger|lydbølger]], et arbeid om energien til [[varmestråling|sort stråling]].<ref> Lord Rayleigh, ''Remarks upon the Law of Complete Radiation'', Philosophical Magazine '''49''', 539-540 (1900).</ref> Dette skjedde flere måneder før [[Max Planck]] lanserte ''sin'' nye [[Plancks strålingslov|strålingsteori]]. I motsetning til Planck tok lord Rayleigh utgangspunkt i de [[elektromagnetisk bølge|elektromagnetiske bølgene]] som utgjør strålingen. På samme måte som han kunne løse [[bølgeligning]]en for lydbølger i et lukket rom og dermed beregne hvor mange løsninger eller ''moder'' som kunne forefinnes, så kunne han vise at antall moder i et lukket  hulrom med stråling var proporsjonalt med frekvensen. Hver slik mode representrerte en frihetsgrad som ifølge klassisk, [[statistisk fysikk]] skulle ha en energi proporsjonal med den [[absolutt temperatur|absolutte temperaturen]] ''T''. På den måten kom han frem til formelen

: <math>  u_\nu(T) = a\nu^2 T e^{-b\nu/T} </math>

hvor ''a'' og ''b'' var ukjente konstanter. Her hadde han tilføyet en eksponentialfunksjon som han behøvde for at energifordelingen skulle ha et maksimum som diktert av [[Wiens forskyvningslov]]. Med dette valget oppfylte formelen også det generelle [[varmestråling|kravet]] å variere som frekvensen ''&nu;'' i tredje potens multiplisert med en funksjon av ''&nu;/T''. 

Det viste seg snart at formelen stemte godt med de eksperimentelle resultatene som fantes. Om høsten [[1900]] ble den brukt av Rubens og Kurlbaum som en meget god tilpasning til deres nye måleresultater ved lavere frekvenser enn tidligere.<ref> H. Rubens und F. Kurlbaum, '' "Über die Emission langwelliger Wärmestrahlen durch den schwarzen Körper bei verschiedenen Temperaturen'', Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 929-941 (1900). [http://articles.adsabs.harvard.edu//full/1901ApJ....14..335R/0000335.000.html PDF]</ref><ref> H. Rubens und F. Kurlbaum, ''Anwendung der Methode der Reststrahlen zur Prüfung des Strahlungsgesetzes'', Annalen der Physik, '''4''', 649-666 (1901).[http://zs.thulb.uni-jena.de/servlets/MCRFileNodeServlet/jportal_derivate_00149131/19013090402_ftp.pdf PDF]</ref>  Selv om den enda bedre formelen til Planck ble funnet noen få uker senere, forble likevel Rayleighs resultat av interesse.

===Einstein 1905 ===

Våren 1905 publiserte [[Einstein]] sitt store arbeid om [[varmestråling|sort stråling]] som i [[1921]] skulle gi han [[Nobelprisen i fysikk]].<ref> A. Einstein, ''Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt'', Annalen der Physik '''17''', 132-148 (1905). [http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_132-148.pdf PDF].</ref> Det baserte seg på [[Plancks strålingslov|Plancks formel]] 

:<math>  u_\nu(T) = {2\pi\nu^2\over c^3} E(\nu,T)  </math>

for likevekt mellom strålingen og materielle resonatorer i veggene som omsluttet strålingen. Disse resonatorene var antatt å være [[harmonisk oscillator|harmoniske oscillatorer]] for å spille rollen som atom eller molekyl som man da ikke hadde noen god forståelse av. ''E'' er den midlere energi for en slik resonator som svinger med frekvensen ''&nu;'' og er i likevekt med strålingen med temperatur ''T''. Fra tidligere beregninger av [[spesifikk varmekapasitet|spesifikke varmekapasiteter]] var det kjent at en slik resonator har to frihetsgrader, hver tilsvarende en energi ''k<sub>B</sub>T''/2. Ut fra dette konkluderte Einstein med at ''E = k<sub>B</sub>T''. På den måten kom han frem til 

:<math>  u_\nu(T) = {2\pi\nu^2\over c^3} k_B T </math>

som en direkte konsekvens av klassisk fysikk. Og det var akkurat klassisk fysikk Planck hadde brukt i sin utledning av likevektsformelen. Dette resultatet har senere fått navnet ''Rayleigh-Jeans' strålingsformel'', siden det var Lord Rayleigh som først hadde argumentert for den lineære avhengigheten av temperaturen.

===Rayleigh 1905 ===

Noen uker senere i [[1905]] offentliggjorte [[John William Strutt|Lord Rayleigh]] et nytt arbeid om sort stråling, basert på sitt resultat fra fem år tidligere.<ref> Lord Rayleigh, ''The Dynamical Theory of Gases and of Radiation'', Nature '''72''', 54-55 (1905). </ref> Han hadde nå droppet den eksponensielle funksjonen i formelen sin, og beregnet den gjenværende konstanten ''a''. 

Det kunne han gjøre ved å finne løsningene av [[bølgeligning]]en

: <math> \nabla^2 \Phi - {1\over c^2} {\partial^2\Phi\over \partial t^2} = 0 </math>

som hver komponent ''&Phi;''(''x,y,z,t'') av det [[elektromagnetisme|elektromagnetiske feltet]] må oppfylle. Her er &nabla;<sup>2</sup> er [[nabla-operator|Laplace-operatoren]]. Løsningene må anta verdien null langs veggene til volumet ''V'' som omslutter bølgene slik at de forblir innestengt. Det er enklest å velge dette å være en kube med sidekant ''L'' slik at  {{nowrap|''V'' {{=}} ''L''<sup>3</sup>}}. Det betyr at løsningene må være av formen

: <math> \Phi(x,y,z,t) = \Phi_{0}\sin{\pi xn_x\over L}\sin{\pi yn_y\over L}\sin{\pi zn_z\over L} \cos2\pi\nu t </math>

hvor de hele tallene {{nowrap|''(n<sub>x</sub>, n<sub>y</sub>, n<sub>z</sub>)''}} karakteriserer hver løsning eller '''mode'''. Innsatt i bølgeligningen finner man at de må tilfredsstille betingelsen

: <math> n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = (2\nu L/c)^2  </math>

Hver løsning som oppfyller denne, vil da være en tillatt mode og angi et punkt i et kubisk gitter. Antall løsninger {{nowrap|''dN<sub>&nu;</sub>&thinsp;''}} i frekvensintervallet mellom ''&nu;'' og {{nowrap|''&nu; + d&nu;''}} vil, når sidekanten ''L'' er mye større enn bølgelengden ''c/&nu;'', være gitt ved antall slike punkt i et kuleskall med radius {{nowrap|''2&nu;L''/''c''}} og tykkelse {{nowrap|(2''L''/''c'')''d&nu;&thinsp;''}}. Det betyr at

: <math> dN_\nu = 4\pi (2\nu L/c)^2\cdot (2L/c)d\nu = {32V\pi\nu^2\over c^3} d\nu  </math>

Men ettersom dette er [[elektromagnetisk bølge|elektromagnetiske bølger]] med to forskjellige polarisasjonsretninger, må resultatet til slutt dobles.  Volumfaktoren ''V'' vil ikke inngå når dette brukes til å beregne energitettheten som er energi per volumenhet.

På denne måten fant [[John William Strutt|Lord Rayleigh]] at den ukjente konstanten ''a'' han hadde tidligere innført, måtte ha verdien {{nowrap|''a'' {{=}} 64''&pi;&thinsp;k<sub>B</sub>''&thinsp;/''c''<sup>3</sup>}}.  Da hadde han konkludert, med et resonnement tilsvarende Einsteins resonnement, med at energien til en slik oscillerende mode måtte være ''k<sub>B</sub>T''.  Dermed hadde han sin nye formel, som ikke lenger inneholdt noen ukjente konstanter. Men det som virkelig var nytt i Lord Rayleighs beregning, var å bruke et slikt resultat fra klassisk, [[statistisk fysikk]] for energien til en oscillerende, [[elektromagnetisk bølge]].

===Jeans 1905===

Omtrent to måneder senere påpekte den mye yngre [[James Jeans]] at Lord Rayleigh hadde gjort en liten feil i sin beregning.<ref> J. Jeans, ''Radiation Theories Compared'', Nature '''72''', 293-294 (1905).</ref><ref> J. Jeans, ''The partition of energy between matter and ether'', Philosophical Magazine '''10''', 91-98 (1905).</ref> I ligningen for de stående bølgene kunne modetallene ''(n<sub>x</sub>, n<sub>y</sub>, n<sub>z</sub>)'' bare anta positive verdier. Dette reduserte resultatet for den spektrale energitettheten med en faktor 8, slik at den riktige formelen skulle være

:<math>  u_\nu(T) = {2\pi\nu^2\over c^3} k_B T </math>

I en kort publikasjon umiddelbart etterpå uttrykte Lord Rayleigh sin fulle enighet med denne korreksjonen til Jeans.<ref>Lord Rayleigh, ''The Constant of Radiation as Calculated from Molecular Data'', Nature '''72''', 243-244 (1905).</ref> Det som kanskje overrasket mest med deres resultatet, var at de hadde funnet faktoren som multipliserte ''k<sub>B</sub>T'' på en helt annen måte enn hva Planck hadde gjort. Han hadde brukt [[termodynamikk]] og [[Elektrodynamikk|klassisk elektrodynamikk]], mens her oppsto den ved å telle opp vanlige moder av stående bølger i et volum. 

Beregning til Lord Rayleigh og Jeans stemte med hva Einstein allerede hadde funnet. Men deres utgangspunkt var ganske annerledes, og skulle i de følgende årene vise seg å være det beste. Det skulle likevel ta ytterligere tyve år før det med etableringen av [[kvantefeltteori]]en var full konsensus om dette.