Redigerer Projektivt plan (avsnitt)

== Homogene koordinater ==
[[Fil:Drawing_Square_in_Perspective_2.png|thumb|300px|Illustrasjon av en perspektivisk avbildning hvor lysstråler fra objektet passerer billedplanet og samles i øyet.]]
Fra de tre postulatene kan man i prinsippet utlede alle egenskaper til det projektive planet ved rent logiske argument. Dette kalles vanligvis for ''syntetisk geometri'' som da blir en ren logisk konstruksjon. Alternativt kan egenskapene undersøkes som i [[analytisk geometri]] ved å bruke [[koordinatsystem|koordinater]]. Disse ble innført av  [[August Ferdinand Möbius|August Möbius]] og [[Julius Plücker]] i tiden rundt 1830. 

En naturlig koordinatisering av det reelle, projektive planet '''RP'''<sup>2</sup>&thinsp; er basert på dannelsen av et bilde under en perspektivisk avbildning hvor lysstråler fra et objekt sendes mot øyet og gir en avbildning i et todimensjonalt plan som ligger mellom objektet og øyet. Alt dette befinner seg i et tredimensjonalt, [[euklidsk rom]] '''E'''<sup>3</sup> med [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]] {{nowrap|(''x,y,z'').}} Øyet er i [[origo]], og bildeplanet ligger utenfor dette. Lyset fra et punkt på objektet følger da en rett linje til øyet og treffer dette med en retning som kan angis ved en vektor {{nowrap|'''x''' {{=}} (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>).}}  Dette er en [[perspektiv|sentralprojeksjon]] som kalles også for en [[perspektiv|lineær perspektivitet]].

Denne retningsvektoren bestemmer også hvor lysstrålen går gjennom bildeplanet og kan brukes til å angi hvert punkt i dette planet. Da retningen til vektoren ikke forandres ved at den multipliseres med en konstant ''&lambda;''  &ne; 0, vil vektorene {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>)}} og {{nowrap|(''&lambda;x''<sub>1</sub>, ''&lambda;x''<sub>2</sub>,''&lambda;x''<sub>3</sub>)}} angi ett og samme punkt. Derfor vil for eksempel (12,-8,10) angi samme punkt som (-6,4,-5). Med denne ekvivalensen kan man etablere ''homogene punktkoordinater'' i det projektive planet. For alle reelle verdier av disse tre koordinatene finnes det et tilsvarende punkt i planet, bortsett fra punktet (0,0,0) som ikke angir noen retning i det euklidske rommet.

=== Linjekoordinater ===
I denne realiseringen av det projektive planet vil en linje fremkomme som skjæringslinjen mellom et plan i '''E'''<sup>3</sup> som går gjennom origo, og billedplanet. Ligningen for et slikt [[plan (matematikk)|plan]] er {{nowrap|''ax'' + ''by'' + ''cz'' {{=}} 0}} hvor de tre koeffisientene ''a, b'' og ''c'' er komponentene til en vektor '''n''' som står normalt på planet. Linjen i det projektive planet er entydig bestemt av denne vektoren. Hver slik linje kan derfor koordinatiseres som {{nowrap|'''n''' {{=}} [''n''<sub>1</sub>,''n''<sub>2</sub>,''n''<sub>3</sub>]}} hvor komponentene også nå kan ta alle reelle verdier bortsett fra [0,0,0]. Da det igjen er retningen til vektoren som er avgjørende, vil {{nowrap|[''n''<sub>1</sub>,''n''<sub>2</sub>,''n''<sub>3</sub>]}} og {{nowrap|[''&lambda;n''<sub>1</sub>,''&lambda;n''<sub>2</sub>,''&lambda;n''<sub>3</sub>]}} beskrive samme linje. Disse koordinatene for linjen er derfor også homogene og kalles for ''homogene linjekoordinater''. For å skille de fra de  tilsvarende punktkoordinatene, skrives de med firkantparenteser i stedet for med runde parenteser.

=== Insidens ===
For at et punkt {{nowrap|'''x''' {{=}} (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>)}}  i det projektive planet skal ligge på linjen {{nowrap|'''n''' {{=}} [''n''<sub>1</sub>,''n''<sub>2</sub>,''n''<sub>3</sub>]}}, er det nødvendig at disse to vektorene står [[vinkelrett]] på hverandre. Da er [[indreprodukt| prikkproduktet]] {{nowrap|'''x'''&sdot;'''n''' {{=}} 0}} eller {{nowrap|''x''<sub>1</sub>''n''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub>''n''<sub>2</sub> + ''x''<sub>3</sub>''n''<sub>3</sub> {{=}} 0.}} Når komponentene til '''n''' er gitt, vil denne ligningen gi alle punkt som ligger på den tilsvarende linjen. Punkt som ligger på samme linje er ''kolineære'', for eksempel punkt som oppfyller {{nowrap|2''x''<sub>1</sub>  - 3''x''<sub>2</sub> + ''x''<sub>3</sub> {{=}} 0.}} Omvendt vil den samme ligningen med gitte verdier for komponentene til punktet '''x''' beskrive linjer som går gjennom dette punktet. Linjene er da ''kopunktuelle'', som for eksempel linjene {{nowrap|''n''<sub>1</sub>  + 5''n''<sub>2</sub> - 2''n''<sub>3</sub> {{=}} 0}}  som alle går gjennom punktet (1,5,-2).

Hvis man har gitt to punkt {{nowrap|'''a''' {{=}} (''a''<sub>1</sub>,''a''<sub>2</sub>,''a''<sub>3</sub>)}}  og {{nowrap|'''b''' {{=}} (''b''<sub>1</sub>,''b''<sub>2</sub>,''b''<sub>3</sub>)}}, vil det være en linje '''n''' i det projektive planet som går gjennom begge punktene. Da må både {{nowrap|'''a'''&sdot;'''n''' {{=}} 0}} og {{nowrap|'''b'''&sdot;'''n''' {{=}} 0}} være oppfylt.  Linjen er derfor gitt ved  [[kryssprodukt]]et {{nowrap|'''n''' {{=}} '''a'''&thinsp;&times;&thinsp;'''b'''.}} I det euklidske rommet '''E'''<sup>3</sup> er dette vektoren som står [[vinkelrett]] på planet som '''a''' og '''b''' danner.  Skrevet ut blir dermed koordinatene til linjen '''n''' = {{nowrap|[''a''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub> - ''a''<sub>3</sub>''b''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>''b''<sub>1</sub> - ''a''<sub>1</sub>''b''<sub>3</sub>, ''a''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub> - ''a''<sub>2</sub>''b''<sub>1</sub>].}} Ligningen for punktene på linjen er {{nowrap|'''x'''&sdot;('''a'''&thinsp;&times;&thinsp;'''b''') {{=}} 0}}. Det betyr at tre punkt '''a''', '''b''' og '''c''' ligger på samme linje når de homogene koordinatene oppfyller {{nowrap|('''a'''&thinsp;&times;&thinsp;'''b''')&sdot;'''c''' {{=}} 0}}. Skriver man dette [[vektor (matematikk)#Trippelprodukt|trippelproduktet]] ut, kan det uttrykkes ved en [[determinant]] slik at betingelsen for kolineæritet blir

: <math>(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}
=\begin{vmatrix} 
  a_1 & a_2 & a_3 \\
  b_1 & b_2 & b_3 \\
  c_1 & c_2 & c_3 \\
\end{vmatrix} = 0\,</math> .

Som et eksempel kan man bestemme linjen som går gjennom punktene (1,-2,3) og (0,2,1). Ved direkte utregning er den gitt ved vektoren {{nowrap|[8,1,-2]}} som tilsvarer ligningen {{nowrap|8''x''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub> - 2''x''<sub>3</sub> {{=}} 0}} for linjer i punktkoordinater. Et punkt på linjen er da {{nowrap|(1,2,5).}} Det tilsvarer vektoren {{nowrap|'''c''' {{=}} '''a''' + 2'''b'''&thinsp;}} eller en annen, ekvivalent lineærkombinasjon. 

Generelt kan hvert punkt på linjen som går gjennom punktene '''a''' og '''b''' angis ved en lineærkombinasjon {{nowrap|'''c''' {{=}} &alpha;'''a''' + &beta;'''b'''}} for visse verdier av koeffisientene ''&alpha;'' og ''&beta;''. Man da koordinatene er homogene, er dette ekvivalent med {{nowrap|'''c''' {{=}} '''a''' + &lambda;'''b'''&thinsp;}} hvor {{nowrap|''&lambda;'' {{=}} ''&beta;''/''&alpha;''}}. For forskjellige verdier av ''&lambda;&thinsp;'' beskriver denne vektoren en rekke med punkter som ligger på linjen gjennom punktene '''a''' og '''b'''. Når {{nowrap|''&lambda;'' {{=}} 0&thinsp;}} er {{nowrap|'''c''' {{=}} '''a'''&thinsp;}} og likedan når {{nowrap|''&lambda; &rarr; &infin;'',}} blir  {{nowrap|'''c''' {{=}} '''b'''.}} For punkter på denne linjen kan parametrene (''&alpha;,&beta;'')&thinsp; betraktes som homogene koordinater for '''c''' med referanse til punktene '''a''' og '''b'''.

På helt tilsvarende måte kan man finne et punkt som går gjennom to linjer {{nowrap|'''m''' {{=}} [''m''<sub>1</sub>,''m''<sub>2</sub>,''m''<sub>3</sub>]}}  og {{nowrap|'''n''' {{=}} [''n''<sub>1</sub>,''n''<sub>2</sub>,''n''<sub>3</sub>]}}, det vil si deres skjæringspunkt. Det er gitt ved vektoren {{nowrap|'''x''' {{=}} '''m'''&thinsp;&times;&thinsp;'''n'''}}. En linje gjennom dette punktet har ligningen  {{nowrap|'''x'''&sdot;'''l''' {{=}} 0}} eller  {{nowrap|''x''<sub>1</sub>l<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub>l<sub>2</sub> + ''x''<sub>3</sub>l<sub>3</sub> {{=}} 0&thinsp;}} i linjekoordinater. Betingelsen for at en linje '''k''' skal gå gjennom skjæringspunktet mellom linjene '''m''' og '''n''', er derfor {{nowrap|('''m'''&thinsp;&times;&thinsp;'''n''')&sdot;'''k''' {{=}} 0&thinsp;}} eller

: <math>\mathbf{k}\cdot(\mathbf{m}\times\mathbf{n})
=\begin{vmatrix} 
  k_1 & k_2 & k_3 \\
  m_1 & m_2 & m_3 \\
  n_1 & n_2 & n_3 \\
\end{vmatrix} = 0\,</math> .

En bunt med linjer som går gjennom skjæringspunktet for linjene '''m''' og '''n''' er gitt ved lineærkombinasjonen {{nowrap|'''k''' {{=}} &alpha;'''m''' + &beta;'''n'''&thinsp;}} for forskjellige verdier av parametrene ''&alpha;'' og ''&beta;''. De kan også oppfattes som homogene koordinater for de forskjellige linjene i rekken definert ved referanselinjene '''m''' og '''n'''.

Regneoperasjoner med homogene koordinater forenkles ved å bruke denne vektornotasjonen for punkter og linjer. Men det er ikke alltid nødvendig eller praktisk. Vanligvis betegnes punkt i det projektive planet med store bokstaver og linjer med små. Bare når et homogent koordinatsystem foreligger, kan et punkt ''A'' angis mer presist som en vektor '''a''' med tre komponenter på samme måte som at en linje ''m'' kan spesifiseres ved en 3-komponent vektor '''m'''.