Redigerer Projektiv geometri (avsnitt)

==Historie==
[[Fil:Birapport et projection.png|thumb|240px|Ved en projekson fra et punkt vil [[dobbeltforhold]]et for fire punkt ''A'', ''B'', ''C'' og ''D'' langs en linje forbli uforandret.]]
Den første forståelsen for egenskaper ved projektiv geometri ble utviklet av den greske matematikeren [[Pappos fra Alexandria]] på 400-tallet, det vil si over seks hundre år etter at [[Evklid|Euklid]] hadde etablert sin geometri. Han viste at hvis man har gitt fire punkt langs en linje og de projiseres som vist i figuren til høyre, fra et punkt over på en annen linje hvor de avbildes på fire nye punkt, så vil disse projiserte punktene ha samme [[dobbeltforhold]] som de opprinnelige punktene. Dette dobbeltforholdet viste seg etter hvert å spille en sentral rolle i projektiv geometri.

[[Fil:NYpappus.svg|thumb|left|280px|[[Pappos' setning]] sier at de tre skjæringspunktene ''A'', ''B'' og ''C''  alltid vil ligge på en rett linje uansett hvordan punktene på de to linjene d<sub>1</sub> og d<sub>2</sub> ligger.]]
I tillegg beviste Pappos et annet [[teorem]] som også fikk meget stor betydning. Hvis man har gitt tre punkt på en linje og tre punkt på en annen linje, og disse seks punktene forbindes som vist til venstre, vil de tre skjæringspunktene ligge på en rett linje. Og dette vil alltid skje, uavhengig av hvordan de gitte linjene ligger og eller hvordan punktene på dem er fordelte. Dette er innholdet av [[Pappos' teorem]]. På samme måte som dobbeltforholdet er invariant, er også denne egenskapen ved skjæringspunktene invariant under forskjellige projeksjoner eller projektive transformasjoner.

Gjennom de neste tusen år kom det omtrent ingen nye bidrag av betydning til projektiv geometri. Innen [[skolastikk]]en var [[euklidsk geometri]] helt dominerende, og ingen tvilte på dens riktighet. Og det var det heller ingen empirisk grunn til.

===Renessansen===
[[Fil:Masaccio 003.jpg|thumb|[[Masaccio]], ''Den Hellige Treenighet'', 1427. [[Santa Maria Novella (Firenze)|Santa Maria Novella]] i [[Firenze]].]]

Utviklingen av projektiv geometri er tett knyttet til forståelsen av [[perspektiv]]et i bildende kunst. Allerede på 1300-tallet prøvde  den italienske maler [[Giotto]] å gi noen av sine bilder en viss dypde uten at det i dag ser særlig overbevisende ut. Men hundre år senere ble denne kunsten bedre mestret etter at den italienske arkitekten [[Filippo Brunelleschi]] hadde mer systematisk undersøkt hvordan en perspektivisk fremstilling kunne gjøres mest mulig naturtro.
Denne forståelsen ble videre bearbeidet av hans venn og kollega [[Leon Battista Alberti]] som i 1436 presenterte den nye innsikten i verket ''Trattato della pittura'' og omtales i dag som [[sentralperspektiv]]. I de følgende årene fikk det stor betydning for utviklingen av [[renessansen|renessansekunsten]].

En av de første malerne som gjorde bruk av disse nye idéene var [[Masaccio]], som fremstilte flere malerier med et tydelig dybdeperspektiv og forsvinningspunkt. Dette ble raskt benyttet av de fleste andre malere og videre undersøkt av [[Piero della Francesca]] i hans verk ''De prospectiva pingendi'' fra siste halvdel av 1400-tallet.  Noe tid senere ble [[Albrecht Dürer]]  kjent med perpektivtegning på en reise i Italia og utga i 1525 sin forståelse av denne som en del av  skriftsamlingen ''Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt''  som gjorde denne lærdommen kjent i Nord-Europa.

===Opplysningstiden===

[[Fil:Desargues theorem.png|left|thumb|240px|[[Desargues' teorem]] sier at når de to grønne trekantene ligger på en projekson fra et punkt, så vil skjæringspunktene mellom forlengelsene til de tilsvarende sidene i trekantene ligge på en rett linje.]]
Idéen om ideelle punkt ble først diskutert av [[Johannes Kepler]] rundt år 1600 i hans astronomiske arbeid. Han antok at stjernene lå uendelig langt borte og skulle betraktes som slike punkt. Derimot er lyspunktene som vi ser, kun projeksjoner av denne mer ideelle verden. I andre arbeider undersøkte han også hvordan forskjellige [[kjeglesnitt]] kunne gå over i hverandre ved det som tilsvarer projektive transformasjoner.

Mer systematisk ble disse ideelle punktene studert i en større sammenheng av [[Girard Desargues]] som anses som grunnleggeren av projektiv geometri. Hans første arbeid om perspektiv kom i 1636. Men kanskje hans mest originale og dyptpløyende betraktninger ble skrevet sammen i 1639 og blir omtalt som hans ''Brouillon project'' (grov skisse) etter de første ordene i tittelen. Selv om denne sier at arbeidet er en undersøkelse av egenskapene til kjeglesnitt, er det nye resultat innen projektiv geometri som blir presentert. Betydningen av [[harmonisk deling]] blir diskutert og forståelsen av [[pol og polare]] blir utvidet for første gang siden [[Apollonios fra Perge|Apollonios]].

Det er her Desargues også viser at projektiv geometri inneholder en '''dualitet''' mellom punkt og linjer i planet. Mens to punkt definerer en linje, vil to linjer definere et punkt. Dette gjelder også når de ser ut til å være parallelle. Det betyr at hvis man følger dem ut mot det uendelige, vil man komme til ett og samme punkt enten man går ut langs den ene eller den motsatte retningen.  I samme verk finnes også tanker som ledet opp til hva som i dag kalles [[Desargues' teorem]]. Dette er av grunnleggende betydning i projektiv geometri, men ble først publisert i sin endelige form i 1648 av en av hans venner.

[[Blaise Pascal]] var tidlig i sitt liv influert av Desargues og hans arbeid. Som 16-åring publiserte han en generalisering av Pappos' teorem for skjæringspunktene mellom linjer som forbinder seks punkt plassert på et generelt kjeglesnitt. Dette teoremet er nå kjent som [[Pascals teorem]] og er av fundamental betydning i projektiv geometri. På samme måte ga arbeidene til Desargues inspirasjon til [[Philippe de La Hire]], som i samme tidsperiode også utledet et stor antall resultat innen samme felt og la grunnlaget for teorien om [[pol og polare]].

Arbeidene til Desargues var for de aller fleste andre vanskelig å forstå og ble raskt overskygget av hva [[Descartes]] omtrent samtidig utviklet av moderne, [[analytisk geometri]]. Etter få år ble oppdagelsene til Desargues omtrent helt glemt og ble først gjenoppdaget omtrent to hundre år senere.

===Nyere tid===
Projektiv geometri fikk en ny start i Paris med [[Gaspard Monge]] som var opptatt av [[deskriptiv geometri]] til praktisk bruk, spesielt i militære sammenhenger. En av hans tidligste elever var [[Joseph Diez Gergonne|Joseph Gergonne]] som systematiserte bruken av dualitet i todimensjonal, projektiv geometri, det vil si symmetrien mellom punkt og linjer. I samme gruppe med matematikere var også  [[Jean-Victor Poncelet]] som samlet sammen og videreførte resultatene til Desargues og presenterte disse på en mer helhetlig måte inspirert av Euklids verk [[Euklids Elementer|''Elementer'']]. Dette ble kalt ''syntetisk geometri'' i motsetning til [[analytisk geometri]].

For å kunne gi projektiv geometri en analytisk behandling, må den formuleres med matematiske ligninger som inneholder [[koordinatsystem|koordinater]] til punkter og linjer. Et første step i denne retningen ble gjort av [[Lazare Carnot]] som også tilhørte gruppen rundt Monge. Han viste hvordan punkter på en linje kan koordinatiseres slik at man kunne gjøre bruk av [[delingsforhold]]et mellom dem. Av større betydning var koordinatene som [[August Ferdinand Möbius|August Möbius]] innførte 1827 i forbindelse med [[affin geometri]]. Disse ble generalisert til '''homogene koordinater''' et par år senere av [[Julius Plücker]]. De viste seg fort å være ideelle for projektiv geometri og kan brukes i [[projektivt rom|projektive rom]] av høyere dimensjoner. På den måten kunne han gi en elegant, matematisk formulering av dualitet.

Projektiv geometri er mer generell enn [[affin geometri]]. Men hvis man ser bort fra de ideelle punktene i det uendelige, skulle det projektive rommet gå over i [[affint rom|det affine rommet]] slik at man får euklidsk geometri. Matematisk ble dette demonstrert av [[Arthur Cayley]] i 1859 ved å bruke dobbeltforholdet til å sette størrelse på vinkler og avstander målt i forhold til visse punkter i det uendelige, bestemt av et ''absolutt kjeglesnitt''. Ti år senere viste [[Felix Klein]] ved bruk av samme fremgangsmåte at også [[ikke-euklidsk geometri]]er vil følge fra projektiv geometri.