Redigerer Plücker-koordinater (avsnitt)

==Euklidsk geometri==

Punktene '''x''' og '''y''' kan betraktes som [[vektor (matematikk)|posisjonsvektorer]] i et tredimensjonalt, [[euklidsk rom]] '''E'''<sup>3</sup>. Retningen til linjen mellom disse to punktene er gitt ved vektoren {{nowrap|'''d''' {{=}} '''y''' - '''x'''}}. For å kunne angi dens posisjon i rommet, kan man benytte [[kryssprodukt]]et {{nowrap|'''m''' {{=}} '''x'''&thinsp;&times;&thinsp;'''y'''}}. Det representerer arealet av [[trekant]]en som de to punktene danner sammen med origo. Vektoren '''m''' står [[vinkelrett]] på dette planet, og man har {{nowrap|'''d'''&thinsp;&sdot;&thinsp;'''m''' {{=}} 0}}. Men da arealet av trekanten også er gitt ved lengden av '''d''' multiplisert ved avstanden fra origo til linjen, vil '''m''' også inneholde informasjon om denne avstanden i rommet.<ref name = Aveneau> L. Aveneau, [http://xlim-sic.labo.univ-poitiers.fr/publications/files/publi2688.pdf ''Plücker révisité''], Revue Électronique Francophone d’Informatique Graphique, '''3'''(2), 59–68, (2009). </ref>

Plückers seks [[linjekoordinater]] er nå gitt som 

: <math> (\mathbf{d}:\mathbf{m}) = (y_1 - x_1:y_2 - x_2:y_3 - x_3: x_2y_3 - x_3y_2: x_3y_1 - x_1y_3: x_1y_2 - x_2y_1) </math>

De er ikke alle uavhengige av hverandre da de må tilfredsstille ligningen '''d'''&sdot;'''m''' = 0. På komponentform gir den ''Plücker-betingelsen''

: <math> (y_1 - x_1)(x_2y_3 - x_3y_2) + (y_2 - x_2)(x_3y_1 - x_1y_3) + (y_3 - x_3)(x_1y_2 - x_2y_1) = 0 </math>

som er identisk oppfylt for alle verdier av koordinatene. Men i tillegg er de uavhengig av nøyaktig hvilke punkt '''x''' og '''y''' man velger på linjen. Med et annet valg {{nowrap|'''x'&thinsp;''' {{=}} '''x''' + ''&alpha;''&thinsp;'''d'''}} og {{nowrap|'''y'&thinsp;''' {{=}} '''y''' + ''&beta;''&thinsp;'''d'''}} slik at retningsvektoren '''d''' forandres til {{nowrap|'''d'&thinsp;''' {{=}} (1 + ''&beta;'' - ''&alpha;'')'''d'''}}. Samtidig vil avstandsvektoren '''m''' forandres
til  {{nowrap|('''x''' + ''&alpha;''&thinsp;'''d''')&thinsp;&times;&thinsp;('''y''' + ''&beta;''&thinsp;'''d''')}} som ved direkte utregning gir {{nowrap|'''m'&thinsp;''' {{=}} (1 + ''&beta;'' - ''&alpha;'')'''x'''&thinsp;&times;&thinsp;'''y'''.}} Begge vektorene multipliseres derfor med samme konstant slik at Plücker-koordinatene er [[Projektiv geometri#Homogene koordinater|homogene]] av samme type som benyttes i [[projektiv geometri]]. Disse to egenskapene ved de seks Plücker-koordinatene betyr at bare fire av dem kan variere fritt.

To linjer med Plücker-koordinater ('''d'''&thinsp;:&thinsp;'''m''') og ('''d''''&thinsp;:&thinsp;'''m'&thinsp;''') som skjærer hverandre, definer et plan. Legger man origo til i koordinatsystemet i deres skjæringspunkt,  kan man vise at deres linjekoordinater må være knyttet sammen ved ligningen

: <math> \mathbf{d}\cdot\mathbf{m}' + \mathbf{d}'\cdot\mathbf{m} = 0 </math>

Da denne må være uavhengig av hvordan origo legges, må den være generelt gyldig og kan benyttes for å sjekke om linjene er koplanare.<ref name = Aveneau/>

===Linjens avstand til origo===

Når man er gitt Plücker-koordinatene ('''d'''&thinsp;:&thinsp;'''m'''), kan man lett finne linjens parameterform ved å ta utgangspunkt i dens minste avstand fra origo. Den opptrer for et punkt '''x'''<sub>0</sub> på linjen som er karakterisert ved at {{nowrap|'''d'''&sdot;'''x'''<sub>0</sub> {{=}} 0}} da disse to vektorene står vinkelrett på hverandre. Dette punktet må som alle andre punkt på linjen oppfylle {{nowrap|'''x'''&thinsp;&times;&thinsp;'''d''' {{=}} '''m'''.}} Ved å kryssmultiplisere med '''d''' finner man dermed for punktet som har den minste avstanden,

: <math> \mathbf{x}_0 = {1\over d^2}\mathbf{d}\times\mathbf{m} </math>

Siden retningen til linjen er gitt ved vektoren '''d''', kan dens Plücker-koordinater benyttes til å skrive den på [[Linje#Linjer i rommet|standard form]] som

: <math> \mathbf{x} = \mathbf{x}_0 + \lambda \mathbf{d} </math>

der ''&lambda;'' er en parameter.

Med flere linjer tilstede kan man på lignende måte beregne deres relative beliggenhet og avstander fra Plücker-koordinatene. Ofte gir dette en mer direkte fremgangsmåte enn med mer konvensjonelle metoder.<ref name = Pedoe> D. Pedoe, ''A Course of Geometry for Colleges and Universities'', Cambridge University Press, London (1970). ISBN 0-521-07638-2.</ref>