Redigerer Pauli-ligning (avsnitt)

===Elektromagnetisk kobling===

Når partikkelen har en elektrisk ladning, kan den koble til [[elektromagnetisk felt|elektromagnetiske felt]]. De kan uttrykkes ved et [[elektrisk potensial]] <math> \Phi </math> samt et [[Magnetfelt#Vektorpotensialet|vektorpotensial]] som gir  [[magnetfelt]]et <math> \mathbf{B} = \boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{A}. </math> Kravet om invarians under [[gaugetransformasjon]]er medfører da at en partikkel med elektrisk ladning ''e&thinsp;'' har en  magnetisk kobling til feltet som kan finnes ved substitusjonen  <math> \mathbf{p}\rightarrow  \mathbf{p} - e\mathbf{A}. </math>  Det samme kravet om gaugeinvarians gjelder også i kvantemekanikken uavhengig av partikkelens spinn.<ref name = Sakurai> J.J. Sakurai, ''Modern Quantum Mechanics'', The Benjamin/Cummings Publishing Company, Menlo Park CA (1985). ISBN 0-8053-7501-5.</ref>

Hamilton-operatoren for en spinn-1/2 partikkel blir nå

: <math> H = {1\over 2m} (\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi})^2 + e\Phi </math>

hvor <math> \boldsymbol{\pi} = \mathbf{p} - e\mathbf{A} </math> og den potensielle energien er <math> V = e\Phi.</math> Her er '''p''' en operator og kommuterer generelt ikke med vektorpotennsialet. Direkte utregning gir

: <math> \left[\pi_i, \pi_j\right] = ie\hbar (\partial_i A_j - \partial_j A_i ) = ie\hbar\, \varepsilon_{ijk} B_k </math>

når høyre side uttrykkes ved [[Levi-Civita-symbol]]et. Da dette definerer et [[vektorprodukt]], har man dermed operatorrelasjon

: <math> \boldsymbol{\pi}\times\boldsymbol{\pi} =  ie\hbar\mathbf{B} </math>

Dette kan benyttes i Hamilton-operatoren som inneholder <math> (\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi})^2 = \boldsymbol{\pi}\cdot\boldsymbol{\pi}  + i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\boldsymbol{\pi}\times\boldsymbol{\pi}). </math> Pauli-ligningen tar dermed sin endelige form

: <math>  i\hbar {\partial\over\partial t} \psi = \left[ {1\over 2m} (\mathbf{p} - e\mathbf{A})^2 - {e\hbar\over 2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}  + e\Phi \right]\! \psi </math>

I tillegg til det første leddet som følger fra klassisk mekanikk for partikler uten spinn, opptrer et nytt ledd som er rent kvantemekanisk da det er proporsjonalt med Plancks konstant. Det skyldes partikkelens spinn uttrykt ved Pauli-matrisene.<ref name = Pauli>W. Pauli, ''Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons'', Zeitschrift für Physik '''43''',  601-623 (1927). [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/4/3/6/34363841/pauli_-_the_magnetic_electron.pdf Engelsk PDF].</ref>