Redigerer P-adisk tall (avsnitt)

===''p''-adisk utvikling===

Mens et desimaltall inneholder en uendelig sum av stadig mindre potenser av grunntallet, kan man betrakte en tilsvarende sum av uendelig mange økende potenser. For eksempel med grunntall ''p'' kan tall på formen 

: <math> x = \sum_{k=0}^\infty x_k p^k =  x_0 + x_1p + \cdots + x_np^n + x_{n+1}p^{n+1} + \cdots </math>

adderes og derfor også multipliseres sammen på helt vanlig måte selv om den uendelige rekken ikke [[konvergens (matematikk)|konvergerer]] på vanlig måte når ''p'' > 1. For at dette skal ha noen mening, må derfor kriteriene for konvergens forandres. Det kan gjøres slik at den uendelige rekken er en veldefinert, ''p''-adisk ekspansjon. Tallet ''x'' sies da på samme måte å være et ''p''-adisk heltall som da kan skrives som (...&thinsp;''x''<sub>''n''</sub>&thinsp;''x''<sub>''n'' -1</sub> ... ''x''<sub>0</sub>)<sub>''p''</sub>. Vanlige heltall kan da uttrykkes i denne representasjonen ved å addere uendelige mange nuller til venstre. For eksempel er 342 = (...000342)<sub>10</sub>  = ({{overlinje|0}}342)<sub>10</sub> som ved den vanlige fremstillingen. 

Da nå 1 = ({{overlinje|0}}1)<sub>''p''</sub>, er den enkle, 3-adiske summen ({{overlinje|2}})<sub>3</sub> + 1 = (...222)<sub>3</sub> + 1 = (...000)<sub>3</sub> = ({{overlinje|0}})<sub>3</sub> = 0 når man gjenomførrer [[addisjon]] fra høyre mot venstre. Derfor må man ha -1 = ({{overlinje|2}})<sub>3</sub> = (...222)<sub>3</sub>. Andre negative tall kan skrives på tilsvarende måte. For eksempel er -2 = (-1)&sdot;2 = (...221)<sub>3</sub> = ({{overlinje|2}}1)<sub>3</sub>  som stemmer med at -2 + 1 = -1. Hadde grunntallet vært ''p'' i stedet, ville -1 = ({{overlinje|''p'' - 1}})<sub>''p''</sub> = (''p'' - 1)({{overlinje|1}})<sub>''p''</sub>&thinsp;. Negative, ''p''-adiske tall   skrives derfor på samme måte som de positive.<ref name="Burger">  E.B. Burger, [https://books.google.no/books?id=PInxBwAAQBAJ&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false ''Exploring the Number Jungle''], American Mathematical Society (2000). ISBN 0-8218-2640-9.</ref>

Disse ''p''-adiske tallene danner en  matematisk [[ring (matematikk)|ring]] hvor addisjon og [[multiplikasjon]] kan utføres. Noen av tallene kan også [[divisjon (matematikk)|divideres]] med hverandre. For eksempel kan [[brøk]]en 1/3 = (0.{{overlinje|3}})<sub>10</sub> representeres ved det 10-adiske tallet ({{overlinje|6}}7)<sub>10</sub> fordi   (...6667)<sub>10</sub>&sdot;3 = (...0001)<sub>10</sub> = 1. Derimot kan man ikke skrive 1/2 på denne måten. I tillegg inneholder ringen  [[nulldivisor]]er slik at produktet ''x''&sdot;''y'' mellom to tall kan være null uten at ''x'' eller ''y'' er null. Samme problem kan oppstå i [[modulær aritmetikk]]. Dette kan unngås ved å kun betrakte ''p''-adiske tall der ''p'' er et [[primtall]] som 2, 3, 5 og så videre. For å samtidig kunne representere resultatet av alle divisjoner, må definisjonen av et ''p''-adisk tall utvides til å være gitt ved den uendelige rekken

: <math> x =  {x_{-m}\over p^m} + \cdots + {x_{-1}\over p} + x_0 + x_1p + x_2p^2  + \cdots </math>

Det kan da skrives som (...&thinsp;''x''<sub>''n''</sub>&thinsp;''x''<sub>''n'' -1</sub> ...''x''<sub>0</sub>&thinsp;.''x''<sub>-1</sub>...''x<sub>-m</sub>'')<sub>''p''</sub> på samme måte som desimaltall skrives når punktum benyttes for [[desimaltegn]]et. Ringen er dermed utvidet til en [[kropp (matematikk)|tallkropp]] hvor alle de fire regningsartene kan utføres. De opprinnelige tallene tilsvarer at ''m'' = 0 og er naturlig å kalle for ''p''-adiske heltall.<ref name="Gouvea"> F.Q. Gouvêa, ''p-adic Numbers: An Introduction'', Springer-Verlag, Berlin (2003). ISBN 3-540-62911-4.</ref>