Redigerer Magnetostatikk (avsnitt)

==Magnetisk moment==

Da [[elektrisk ladning]] er bevart, vil den elektriske strømmen oppfylle [[kontinuitetsligning]]en. Under statiske forhold kan den skrive som {{nowrap|'''&nabla;&thinsp;&sdot;&thinsp;J''' {{=}} 0}}. Det betyr at strømmen går i en lukket sløyfe eller [[kurve]]. På samme måte som en punktladning gir det enkleste, elektriske feltet, vil en forsvinnende liten strømsløyfe gi det enkleste, magnetiske feltet. Det er et [[dipol]]felt skapt av et [[magnetisk moment]].

Når strømfordelingen '''J'''('''r'''') har en endelig utstrekning, kan man i den generelle formelen for det skapte vektorpotensialet benytte approksimasjonen

: <math> {1\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|}  = {1\over r} + {\mathbf{r}\cdot\mathbf{r'}\over r^3} + \cdots </math>

for store avstander  ''r'' >> ''r'''. Det tilsvarer at strømfordelingen har en utstrekning som er mye mindre enn avstanden til feltpunktet. I denne [[multipolutvikling]]en kalles første ledd en monopol, det andre leddet en dipol og så videre.  Men her vil det ikke være noe bidrag fra en [[magnetisk monopol]], og det ledende leddet kommer fra dipolen. Den gir bidraget

: <math>{\mathbf{A}}({\mathbf{r}}) = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{{\mathbf{m}}\times{\mathbf{r}}}{r^3} </math>

hvor det magnetiske momentet til strømfordelingen er<ref name="Jackson">J.D. Jackson, ''Classical Electrodynamics'', John Wiley, New York (1999). ISBN 0-471-30932-X.</ref>

: <math> \mathbf{m}=\frac{1}{2}\int\!d^3x'\, \mathbf{r'}\times\mathbf{J}(\mathbf{r}') </math>

I det tilfellet at den er gitt ved en strøm ''I'' som følger en lukket [[kurve]], kan dette magnetiske momentet skrives som {{nowrap|'''m''' {{=}} ''I''&thinsp;'''S'''}} der vektoren '''S''' har en størrelse lik med arealet av flaten som kurven omslutter og en retning som er normal på denne flaten og avhengig  av strømmens retning som gitt ved [[høyrehåndsregelen]].

===Sirkulær strømsløyfe===

Det magnetiske vektorpotensialet fra en sirkulær strømsløyfe kan beregnes ved elementære integrasjoner. Da den utgjør en [[kurve]] som fører en strøm ''I'', kan man skrive det differensielle strømelementet som

:<math> \mathbf{J}\,d^3x \rarr Id\mathbf{s} </math>

hvor ''d''&thinsp;'''s''' er et differensielt linjeelement langs kurven. For en [[sirkel]] med radius ''a'' som ligger i ''xy''-planet, er da

: <math> d\mathbf{s} = a (-\sin\alpha\,\mathbf{e}_x + \cos\alpha\,\mathbf{e}_y) d\alpha </math>

hvor vinkelen ''&alpha;'' angir et punkt på sirkelen. Dette kildepunktet er dermed {{nowrap|'''r'&thinsp;''' {{=}} ''a''(cos''&alpha;''&thinsp;'''e'''<sub>''x''</sub> + sin''&alpha;''&thinsp;'''e'''<sub>''y''</sub>)}}. Tilsvarende kan feltpunktet angis ved to [[polarkoordinatsystem|polare]] vinkler ''&theta;'' og ''&phi;'' som '''r''' = ''r''(sin''&theta;'' cos''&phi;''&thinsp;'''e'''<sub>''x''</sub> + sin''&theta;'' sin''&phi;''&thinsp;'''e'''<sub>''y''</sub> + cos''&theta;''&thinsp;'''e'''<sub>''z''</sub>).

Monopolbidraget til vektorpotensialet blir nå

: <math> {\mu_0 I\over 4\pi r} \int_0^{2\pi}\!d\alpha\, a(-\sin\alpha\,\mathbf{e}_x + \cos\alpha\,\mathbf{e}_y)  = 0 </math>

da både integralet av sinus og cosinus over en full periode er null. Dette er det forventede resultatet. Men dipolbidraget forsvinner ikke. Her er

: <math> \mathbf{r}\cdot \mathbf{r'} = ar(\sin\theta\cos\phi\cos\alpha + \sin\theta\sin\phi\sin\alpha) </math>

Multipliserer man dette med ''d''&thinsp;'''s''' og igjen integrerer over en full periode av vinkelen ''&alpha;'', vil begge integralene

: <math>  \int_0^{2\pi}\!d\alpha \sin^2\alpha =  \int_0^{2\pi}\!d\alpha \cos^2\alpha = \pi </math>

bidra, mens integralet av kryssleddet sin''&alpha;''&thinsp;cos''&alpha;'' er null. På denne måten gir dipoltermen det totale bidraget

: <math> \oint\!d\mathbf{s} (\mathbf{r}\cdot \mathbf{r'}) = \pi a^2 r(-\sin\theta\sin\phi\,\mathbf{e}_x + \sin\theta\cos\phi\,\mathbf{e}_y) = \mathbf{m}\times \mathbf{r} </math>

hvor det magnetiske momentet til strømsløyfen er '''m''' = ''&pi;&thinsp;a''<sup>2</sup>&thinsp;'''e'''<sub>''z''</sub> i overensstemmelse med hva som følger fra den mer generelle utledningen av vektorpotensialet.

===Dipolfeltet===
[[Fil:Magnetic dipole moment.jpg|thumb|240px|[[Feltlinje]]r rundt en dipol som peker oppover.]]
Feltet fra den magnetiske dipolen kan finnes ved å ta curl av vektorpotensialet. Man kan da benytte formelen

: <math>   \boldsymbol{\nabla}\times(\mathbf{m}\times\mathbf{v})  =  \mathbf{m}(\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v}) - (\mathbf{m}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{v}</math>

fra [[vektoranalyse]]n der '''m''' er en konstant vektor.  Ved denne beregningen er {{nowrap|'''v''' {{=}} - '''&nabla;'''(1/''r'') {{=}} '''r'''/''r''<sup>3</sup>}} slik at det første leddet kan uttrykkes ved [[Diracs deltafunksjon]] som

: <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot{\mathbf{r}\over r^3} =  4\pi \delta(\mathbf{r}) </math>

og bidrar derfor bare i det singulære punktet '''r''' = 0.<ref name = Jackson/> For ''r'' > 0 stammer derfor hele feltet fra det andre leddet,

: <math>  \mathbf{B}(r > 0) =  - \frac{\mu_{0}}{4\pi} (\mathbf{m}\cdot\boldsymbol{\nabla}) {\mathbf{r}\over r^3} </math>

Ved å benytte at &part;<sub>''i''&thinsp;</sub>(''x<sub>j</sub>''&thinsp;/''r''<sup>3</sup>) = &part;<sub>''j''&thinsp;</sub>(''x<sub>i</sub>''&thinsp;/''r''<sup>3</sup>), kan dette forenkles til

: <math>  \mathbf{B}(r > 0) =  - \frac{\mu_{0}}{4\pi}\boldsymbol{\nabla}\left({\mathbf{m}\cdot\mathbf{r}\over r^3}\right) = \frac{\mu_{0}}{4\pi}  \left({3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\over r^5} - {\mathbf{m}\over r^3}\right) </math>

Dette er magnetfeltet fra et magnetisk dipolmoment '''m''' lokalisert i punktet '''r''' = 0. Det avtar med tredje potens av avstanden til dette punktet.<ref name="Griffiths">D.J. Griffiths, ''Introduction to Electrodynamics'', Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.</ref>